第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用知识整合与阶段检测[对应学生用书 P36] [对应学生用书 P36]利用柯西不等式证明不等式(1)柯西不等式取等号的条件实质上是：＝＝…＝.这里某一个 bi为零时，规定相应的 ai为零．(2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组．(3)可以利用向量中的|α||β|≥|α·β|的几何意义来帮助理解柯西不等式的几何意义．[例 1] 若 n 是不小于 2 的正整数，求证：＜1－＋－＋…＋－＜.[证明] 1－＋－＋…＋－＝－2＝＋＋…＋，所以求证式等价于＜＋＋…＋＜.由柯西不等式，有[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]≥n2，于是＋＋…＋≥＝＝≥＝，又由柯西不等式，有＋＋…＋＜＜ ＝.[例 2] 设 a，b，c∈R＋，且满足 abc＝1，试证明：＋＋≥.[证明] abc＝1，则所求证的不等式变为1＋＋≥.又(ab＋bc＋ca)2＝2≤[(ac＋bc)＋(ab＋ac)＋(ba＋bc)]，∴＋＋≥(ac＋bc＋ab)≥·3＝，当且仅当 a＝b＝c＝1 时等号成立．原不等式得证.利用柯西不等式求最值利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足．[例 3] 若 5x1＋6x2－7x3＋4x4＝1，则 3x＋2x＋5x＋x 的最小值是( )A． B．C．3 D．[解析] (3x＋2x＋5x＋x)≥2＝(5x1＋6x2－7x3＋4x4)2＝1，∴3x＋2x＋5x＋x≥.[答案] B[例 4] 等腰直角三角形 AOB 的直角边长为 1.如图，在此三角形中任取点P，过 P 分别引三边的平行线，与各边围成以 P 为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时 P 的位置．[解] 分别取 OA，OB 所在的直线为 x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系．则 AB 的方程为 x＋y＝1，记 P 点坐标为 P(xP，yP)，则以 P 为公共顶点的三个三角形的面积和 S 为 S＝x＋y＋(1－xP－yP)2，2S＝x＋y＋(1－xP－yP)2.由柯西不等式，得[x＋y＋(1－xP－yP)2](12＋12＋12)≥[xP＋yP＋(1－xP－yP)]2，即 2S×3＝6S≥1，所以 S≥.当且仅当＝＝时，等号成立，2即 xP＝yP＝时，面积和 S 最小，且最小值为.从而 P 点坐标为时，这三个三角形的面积和取最小值.[例 5] 已知实数 x、y、z 满足 x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，且 x＋y＋z 的最大值是 7，求 a 的值．[解] 由柯西不等式：[x2＋(2y)2＋(3z)2]≥2.因为 x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，所以...
