高中数学 第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用章末小结知识整合与阶段检测学案 新人教B版选修4-5-新人教B版高二选修4-5数学学案

第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用知识整合与阶段检测[对应学生用书 P36] [对应学生用书 P36]利用柯西不等式证明不等式(1)柯西不等式取等号的条件实质上是：＝＝…＝.这里某一个 bi为零时，规定相应的 ai为零．(2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组．(3)可以利用向量中的|α||β|≥|α·β|的几何意义来帮助理解柯西不等式的几何意义．[例 1] 若 n 是不小于 2 的正整数，求证：＜1－＋－＋…＋－＜.[证明] 1－＋－＋…＋－＝－2＝＋＋…＋，所以求证式等价于＜＋＋…＋＜.由柯西不等式，有[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]≥n2，于是＋＋…＋≥＝＝≥＝，又由柯西不等式，有＋＋…＋＜＜ ＝.[例 2] 设 a，b，c∈R＋，且满足 abc＝1，试证明：＋＋≥.[证明] abc＝1，则所求证的不等式变为1＋＋≥.又(ab＋bc＋ca)2＝2≤[(ac＋bc)＋(ab＋ac)＋(ba＋bc)]，∴＋＋≥(ac＋bc＋ab)≥·3＝，当且仅当 a＝b＝c＝1 时等号成立．原不等式得证.利用柯西不等式求最值利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足．[例 3] 若 5x1＋6x2－7x3＋4x4＝1，则 3x＋2x＋5x＋x 的最小值是( )A． B．C．3 D．[解析] (3x＋2x＋5x＋x)≥2＝(5x1＋6x2－7x3＋4x4)2＝1，∴3x＋2x＋5x＋x≥.[答案] B[例 4] 等腰直角三角形 AOB 的直角边长为 1.如图，在此三角形中任取点P，过 P 分别引三边的平行线，与各边围成以 P 为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时 P 的位置．[解] 分别取 OA，OB 所在的直线为 x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系．则 AB 的方程为 x＋y＝1，记 P 点坐标为 P(xP，yP)，则以 P 为公共顶点的三个三角形的面积和 S 为 S＝x＋y＋(1－xP－yP)2，2S＝x＋y＋(1－xP－yP)2.由柯西不等式，得[x＋y＋(1－xP－yP)2](12＋12＋12)≥[xP＋yP＋(1－xP－yP)]2，即 2S×3＝6S≥1，所以 S≥.当且仅当＝＝时，等号成立，2即 xP＝yP＝时，面积和 S 最小，且最小值为.从而 P 点坐标为时，这三个三角形的面积和取最小值.[例 5] 已知实数 x、y、z 满足 x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，且 x＋y＋z 的最大值是 7，求 a 的值．[解] 由柯西不等式：[x2＋(2y)2＋(3z)2]≥2.因为 x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，所以...