第二章 点、直线、平面之间的位置关系章末知识方法专题小结一、空间中的位置关系(1)空间中两直线的位置关系：相交、平行、异面．(2)空间中直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交．(3)两个平面的位置关系：平行、相交．[例 1] 下面四个命题中，正确命题的个数是( )① 如果 a，b 是两条直线，a∥b，那么 a 平行于经过 b 的任何一个平面；②如果直线 a和平面 α 满足 a∥α，那么 a 与平面 α 内的任何一条直线平行； ③如果直线 a，b 满足a∥α，b∥α，则 a∥b；④如果直线 a 与平面 α 内的无数条直线平行，那么直线 a 必平行于平面 α.A．0 B．1 C．2 D．3[解析] [答案] A[点评] 长方体中体现了空间中的线线、线面关系，通过观察在图中可以找到本题中四个命题的许多反例．解决这类题常常将空间点、线、面的关系放置于长方体中考虑．二、平行与垂直关系1．平行包括线线平行、线面平行、面面平行，这三种平行关系之间可以相互转化．即应用线面平行的判定定理证明线面平行，关键是在平面内找到与平面外直线平行的直线，应用线面平行的性质定理解题的关键是利用已知条件作辅助平面，然后把已知中的线面平行转化为直线和交线平行．2．垂直关系包括线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种垂直关系之间也可以相互转化．即在立体几何中，证明线线垂直，往往需要证明线面垂直，这是证明线线垂直的重要方法．[例 2] 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E 是 PC 的中点，作 EF⊥PB 交 PB 于点 F.(1)证明：PA∥平面 EDB；(2)证明：PB⊥平面 EFD.[证明] (1)如下图，连接 AC，AC 交 BD 于 O，连接 EO. 底面 ABCD 是正方形，∴点 O 是 AC 的中点．在△PAC 中，EO 是中位线，∴PA∥EO.而 EO⊂平面 EDB 且 PA⊄平面 EDB，∴PA∥平面 EDB.(2) PD⊥底面 ABCD，且 DC⊂底面 ABCD，∴PD⊥DC. PD＝DC，可知△PDC 是等腰直角三角形．而 DE 是斜边 PC 的中线，∴DE⊥PC. ①同样，由 PD⊥底面 ABCD，得 PD⊥BC. 底面 ABCD 是正方形，有 DC⊥BC.∴BC⊥平面 PDC.而 DE⊂平面 PDC，∴BC⊥DE. ②由①和②推得 DE⊥平面 PBC.而 PB⊂平面 PBC，∴DE⊥PB.又 EF⊥PB 且 DE∩EF＝E，∴PB⊥平面 EFD.[点评] 与平行、垂直有关的问题，一定要认真考虑平行与垂直的判定定理及性质定理．三、空间角(...
