2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 1课堂探究探究一对基底概念的理解根据平面向量基底的定义知，此类问题可转化为判断两个向量是否共线的问题．若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线，则它们不能作为一组基底．【典型例题 1】 设 e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：① e1与 e1＋e2；② e1－2e2与 e2－2e1；③ e1－2e2与 4e2－2e1；④ e1＋e2与 e1－e2.其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是________．(写出所有满足条件的序号)解析：①中，设 e1＋e2＝λe1，则无解．所以 e1＋e2与 e1不共线，故 e1与 e1＋e2可作为一组基底；同理，可得②④中的两个向量不共线，可作为一组基底；③ 中的两个向量共线，不可作为一组基底．答案：③探究二 用基底表示平面向量1．用基底表示平面内任意向量的关键是，在进行运算时，一定要把所要表示的向量放在某一个三角形或平行四边形中，通过向量的加减或数乘运算将所求向量用基底表示出来．2．通过列关于向量的方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．【典型例题 2】 已知在梯形 ABCD 中，AB∥DC，且 AB＝2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点，设＝a，＝b，试以 a，b 为基底表示，，.思路分析：把要表示的向量放在三角形或平行四边形中，运用向量的加、减法及数乘向量求解．解：如图，连接 FD， DC∥AB，AB＝2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点，∴DCFB，∴四边形 DCBF 为平行四边形．∴＝＝＝b，＝＝－＝－＝a－b，＝－＝－－＝－－ ＝－－×b＝b－a.【典型例题 3】 已知 e1，e2 是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量 a，b 表示 c.思路分析：运用平面向量基本定理，考虑用待定系数法求解．解：由已知可得 a，b 不共线，所以可设 c＝λ1a＋λ2b，则 7e1－4e2＝λ1(3e1－2e2)＋λ2(－2e1＋e2)，∴7e1－4e2＝(3λ1－2λ2)e1＋(λ2－2λ1)e2，∴解得∴c＝a－2b.探究三 向量的夹角两个向量夹角的实质及求解的关键1．实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角．2．关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．【典型例题 4】 (1)在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，则与的夹角θ＝__________.(2)已知|a|＝|b|＝2，且 a 与 b 的夹角为 60°，则 a＋b ...
