2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 3课堂探究探究一平面向量的坐标运算向量坐标运算的注意事项：1．向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用．2．若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．【典型例题 1】 (1)已知平面上三个点 A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求，，＋，－，2＋ ；(2)已知 a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量 a＋b，a－b，3a－4b 的坐标．思路分析：(1)先计算出，的坐标，再进行向量的线性运算；(2)直接利用向量的坐标运算．解：(1)∵A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，∴＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)；＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)；∴＋＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)；－＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)；2＋ ＝2(3，－1)＋ (－3,2)＝.(2)a＋b＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)；a－b＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)；3a－4b＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10)．【典型例题 2】 在△ABC 中，＝(2，－1)，＝(3,1)，＝(x，x2＋x)，求x 的值．解：∵＝(2，－1)，＝(3,1)，∴＝－＝(1,2)．∵＝(x，x2＋x)，∴解得 x＝1.∴所求 x 值为 1.探究二 用坐标形式下的基底表示向量利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求基底向量和被表示向量的坐标，再利用待定系数法．设 c＝xa＋yb，在求解时要运用相等向量坐标相同的关系列方程(组)求出 x，y的值．【典型例题 3】 已知 A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)，D(6,9)，试用，表示.解：由已知可得＝(1,3)，＝(2,4)，＝(5,11)．设＝x＋y ，则(5,11)＝x(1,3)＋y(2,4)，即(5,11)＝(x＋2y,3x＋4y)，∴解得∴＝＋2 .探究三 易错辨析易错点：(1)向量的坐标与点的坐标的混淆，必须把向量的起点平移到原点时，终点坐标才是向量的坐标；(2)用向量的起点和终点表示向量坐标时，要和 a－b 的坐标计算方法区分开【典型例题 4】 已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3 ，＝2 ，求点 M，N 及向量的坐标．错解：∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，∴＝(－1，－8)，＝(－6，－3)．∴＝3 ＝(－3，－24)，＝2 ＝(－12，－6)．∴点 M 的坐标为(－3，－24)．点 N 的坐标为(－12，－6)，∴＝(9，－18)．错因分析：(1) ，的坐标应该是由终点坐标减起点坐标求得；(2) ，的坐标分别与点 M，N 的坐标不同，因为点 C 不是坐标原点．正解：∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，∴＝(1,8)，＝(6,3)，∴＝3 ＝(3,24)，＝2 ＝(12,6)．设 M(x，y)，则＝(x＋3，y＋4)．∴∴∴点 M 的坐标为(0,20)．同理可求点 N 的坐标为(9,2)．∴＝(9，－18)．
