2．2．2 函数的奇偶性课堂导学三点剖析一、函数奇偶性的概念【例 1】 已知 f(x)为 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x)=x3+2x2-1,求 f(x)的解析式.思路分析:由于给出了 f(x)在 x>0 时的解析式，求 f(x)在 x<0 时的解析式应转化到 x>0 上，利用已知解析式求.f(0)利用奇函数的定义求.解析： f(x)为奇函数，且 0 在定义域内，∴f(-0)=-f(0)， 即 f(0)=0. 设 x<0，则-x>0,∴f(-x)=(-x)3+2(-x)2-1=-x3+2x2-1. f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=-f(-x)=x3-2x2+1.∴f(x)=温馨提示 已知函数的奇偶性求函数的解析式,可根据函数奇偶性的定义（记住，奇函数若在 0 处有定义，一定是 f(0)=0）.除此法外，也可根据奇函数、偶函数图象的特点求解.二、函数奇偶性的判定【例 2】 判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=x3+2x; (2)f(x)=2x4+3x2; (3)f(x)=x3+x2.解析：(1)函数的定义域为 R，它关于坐标原点对称， 又 f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x). 即 f(-x)=-f(x),所以函数 f(x)=x3+2x 是奇函数.(2)函数的定义域为 R，它关于坐标原点对称， 又 f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2, 即 f(-x)=f(x),所以函数 f(x)=2x4+3x2为偶函数.（3）函数的定义域为 R，它关于坐标原点对称，f(-x)=(-x)3+(-x)2=-x3+x2, 与-f(x)和 f(x)都不相等，所以 f(x)=x3+x2为非奇非偶函数. 温馨提示 在判断函数奇偶性时，首先求函数定义域，看它是否关于原点对称，这点千万不能忘了.三、函数奇偶性的综合应用【例 3】 函数 f(x),x∈R，若对于任意实数，a,b 都有 f(a+b)=f(a)+f(b).求证：f(x)为奇函数.思路分析：先验证 f(0)=0,再验证 f(-x)=-f(x).证明：设 a=0，则 f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0. 又设 a=-x,b=x, 则 f(0)=f(-x)+f(x).∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.温馨提示 判断函数奇偶性都是紧扣定义，抽象函数奇偶性的判断也不例外，但判断一个抽象函数是奇函数，必须验证 f(0)=0 是否成立，而判断一个抽象函数是否是偶函数就不需验证f(0)=0.这是因为，对于偶函数 f(x),f(0)可以取任意值.各个击破类题演练 1已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x∈(0,+∞)时，f(x)=x(1+),求 f(x).解析：当 x<0 时,-x>0, 由已知 f(-x)=(-x)［1+］=-x(1-). f(x)是奇函数，故 f(-x)=-f(x)，∴-f(x)=-x(1-),∴f(x)=x(1-3x),(x<0). 又由 f(x)是奇函数，可得 f(0)=-f(0),∴f(0)=0.∴f(x)=变式提升 1已知 f(x)是奇函数，且当 x>0 时，f(...
