2.3 平面向量的数量积知识梳理1.两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量 a，b(如图 2-3-1 所示)，作=a，=b，则∠AOB 称为 a与 b 的夹角，记作〈a，b〉.图 2-3-1(2)范围：［0,π］，并且〈a，b〉=〈b，a〉.(3)当〈a，b〉=时，称向量 a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b.规定零向量与任一向量垂直.(4)当〈a，b〉=0 时，a 与 b 同向；当〈a，b〉=π 时，a 与 b 反向.2.向量在轴上的正射影(1)已知向量 a 和轴 l(如图 2-3-2 所示)，作 OA=a，过点 O、A 分别作轴 l 的垂线，垂足分别为 O1、A1，则向量 O1A1在轴 l 上的坐标叫做向量 a 在轴 l 上的正射影(简称射影).a 在轴 l 上的正射影在轴 l 上的坐标，称作 a 在轴 l 上的数量或在轴 l 的方向上的数量，记作 al，a 的方向与轴 l 的正向所成的角为 θ，则有 al=|a|cosθ.图 2-3-2(2)当 θ 为锐角时，al＞0；当 θ 为钝角时，al＜0；当 θ=0 时，al=|a|；当 θ=π 时，al=-|a|.3.向量的数量积(内积)(1)定义：|a||b|cosθ 叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b=|a||b|cosθ.(2)理解：两向量的数量积不是向量而是数量，它可以为正数、零、负数.(3)几何意义：向量 a 与向量 b 的数量积等于 a 的长度｜a｜与 b 在 a 方向上的射影|b|cosθ的乘积，或 b 的长度｜b｜与 a 在 b 方向上的射影|a|cosθ 的乘积.(4)坐标运算：已知 a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则 a·b=a1b1+a2b2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.4.向量数量积的性质设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量.(1)e·a = a·e =|a|cos〈a，e〉；(2)a⊥ba·b=0；(3)当 a 与 b 同向时，a·b=|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b=-|a||b|.特别的 a·a=|a|2或|a|=.(4)cos〈a，b〉=；(5)|a·b|≤|a||b|.5.向量数量积的运算律 交换律：a·b=b·a； 结合律：(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R)； 分配律：(a+b)·c=a·c+b·c.6.向量垂直的坐标表示 已知 a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则 a⊥ba1b1+a2b2=0(a1，a2)∥(-b2，b1).7.向量的长度、距离和夹角公式(度量公式)(1)向量的长度：已知 a=(a1，a2)，则｜a｜=.即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根.(2)两点间距离公式：如果 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=.(3)夹角公式：已知 a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，则两个向量 a、b 的夹角为 cos〈a，b〉=.知识导学 ...
