高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理学案（含解析）新人教A版必修4-新人教A版高二必修4数学学案

2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1 平面向量基本定理[目标] 1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义，理解平面向量基本定理． 2.理解两个向量夹角的定义，两向量垂直的定义． 3.掌握平面向量基本定理并能熟练应用．[重点] 平面向量基本定理与向量夹角．[难点] 平面向量基本定理的应用．知识点一 平面向量基本定理 [填一填](1)定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋ λ 2e2.(2)我们把不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[答一答]1．基底有什么特点？平面内基底唯一吗？提示：基底中的两向量 e1，e2不共线，这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．2．若向量 a，b 不共线，且 c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断 c，d 能否作为基底．提示：设存在实数 λ 使得 c＝λd，则 2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0.由于a，b 不共线，从而 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的，从而 c，d 不共线，故 c，d 能作为基底．知识点二 向量的夹角 [填一填](1)已知两个非零向量 a 和 b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a与 b 的夹角．(2)向量夹角 θ 的范围是 0° ≤ θ ≤ 180° ；当 a 与 b 同向时，夹角 θ＝0°；当 a 与 b 反向时，夹角 θ＝180°.(3)如果向量 a 与 b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b .[答一答]3．零向量与向量 a 的夹角是多少呢？提示：向量的夹角是针对非零向量定义的，零向量与向量 a 的夹角没有意义．4．等边三角形 ABC 中，向量AB与BC的夹角是 60°吗？提示：不是，求两个向量的夹角时，两个向量的起点必须相同，所以等边三角形 ABC中，向量AB与BC的夹角是 120°而不是 60°.类型一 基底的概念 [例 1] (1)设 e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )A．e1＋e2和 e1－e2B．3e1－4e2和 6e1－8e2C．e1＋2e2和 2e1＋e2D．e1和 e1＋e2(2)设 e1，e2是平面内一组基底，且 a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量 e1＋e2可以表示为另一组基底 a，b 的线性组合，即 e1＋e2＝________.[解析] (1)在 B 中，因为 6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以(3e1－4e2)∥(6e1－8e2)．所以 3e1－4e2...