映射一、考点突破了解映射的概念及表示方法。二、重难点提示重点：理解映射的概念；难点：理解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象。◆ 映射的定义设 A，B 是两个非空的集合，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应叫做从集合 A 到集合 B 的映射，记作：。注意：（1）要理解映射定义中的关键词；（2）A 中元素必须取完，B 中元素可以取完，也可以不取完，这种对应可以是一对一，也可以是多对一，但不能是一对多；（3）在映射中，集合 A 叫做映射的定义域，与 A 中元素 x 对应的 B 中元素y 叫做 x 的象，记作：，x 叫做 y 的原象。◆ 映射的“三性”1. “有序性”：映射是有方向的，从 A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射往往不是同一个映射；2. “存在性”：对于集合 A 中的任何一个元素，集合 B 中都存在元素和它对应；3. “唯一性”：对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中和它对应的元素是唯一的。例题 1 下列对应关系中，哪些是从 A 到 B 的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射? （1）A=R，B=R，对应法则 f：取倒数；（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则 f：作三角形的外接圆。思路分析：根据定义分析是否满足“A 中元素的任意性”和“B 中对应元素的唯一性”。答案：（1）不是映射，集合 A 中的元素 0 在集合 B 中没有元素与之对应，不满足“A中任意性”；若把集合 A 改为 A={x|x≠0}或者把对应法则 f 改为“加 1”等，就可成为映射；（2）是映射，集合 A 中的任意一个元素（三角形），在集合 B 中都有唯一的元素（该三角形的外接圆）与之对应，这是因为平面内不共线的三点可以确定一个圆。技巧点拨：将不是映射的对应修改为映射，可以从出发集 A、终止集 B 和对应法则 f 三个角度入手。例题 2 已知 A=R，B={（x，y）|x，yR}，f：A→B 是从集合 A 到集合 B 的映射，f：x→（x+1，x2+1），求 A 中的元素的象，B 中元素的原象。思路分析：把握好象与原象的关系，进而求象或原象。答案：∵的映射关系为∴A 中元素的象为故的原象为。【思维拓展】巧算有限集合间可建立的映射个数若集合中有元素个，集合中有元素个，则从集合到集合的映射的个数为个。【满分训练】已知集合，集合，则从集合到集合的映射有_______个？思路分析：因为集合中有两个元素，所以可将从到的映射分两步进行。元素有 3 种对应选择，元素也有 3 种对应选择，所以从集合到集合的映射的个数为（个）。答案：9
