2.1.2 数列的递推公式（选学）课堂探究一、通项公式与递推公式剖析：递推公式是：已知数列{an}的第 1 项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项 an与它的前一项 an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式是：一个数列{an}的第 n 项 an与项数 n 之间的关系，如果可以用一个公式 an＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系．对于通项公式，只要将公式中的 n 依次取值 1，2，3，…即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可求得其他的项．往往我们要利用各种方法将递推公式转化为通项公式，通项公式能够更直接地研究数列．名师点拨：递推公式也是给出数列的一种重要方法，有时并不一定要知道数列的通项公式，只要知道数列的递推公式，即可解决问题，有的递推公式与通项公式之间也可以进行互化．二、教材中的“？”(1)你能猜想出例 1 中这个数列的通项公式吗？剖析：数列{an}的通项公式为 an＝．(2)你能比较例 2 中 an与 an＋1的大小吗？你能比较 an与 an＋2的大小吗？剖析：不能比较 an+1与 an的大小．当 n 为奇数时，an+2＞an；当 n 为偶数时，an+2＜an．题型一 由递推公式写出数列的项【例 1】 在数列{an}中，已知 a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，写出此数列的前六项．分析：通过观察，此题的递推公式是数列中相邻三项的关系式，知道前两项就可以求出后一项．解：a1＝2，a2＝3，a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5，a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9，a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17，a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33．反思：由递推公式写出数列的项的方法．(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可；(2)解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；(3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．题型二 由递推公式求通项公式【例 2】 已知数列{an}，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)．(1)写出数列{an}的前 5 项；(2)求数列{an}的通项公式．分析：(1)中只需利用代入法依次求出 a2，a3，a4，a5即可；(2)利用下列关系式1①an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1；②＝－进行累加与裂项...
