高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理学案（含解析）新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

2.3.1 平面向量基本定理考试标准课标要点学考要求高考要求平面向量基本定理bb平面内所有向量的一组基底 aa向量夹角的概念bb知识导图学法指导1.平面向量基本定理既是本节的重点，也是本节的难点．2．为了更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向量的方向及模的大小作图观察λ1，λ2取不同值时的图形特征，得到平面上任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量 e1，e2表示出来．3．在△ABC 中，明确AC与AB的夹角与CA与AB的夹角互补.1.平面向量基本定理(1)定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量 e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底． 平面向量基本定理的理解(1)e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，e1，e2的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．(2)平面内的任一向量a都可以沿基底进行分解．(3)基底e1，e2确定后，实数 λ1、λ2是唯一确定的．2．关于两向量的夹角(1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量 a 和 b，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB ＝θ，叫作向量 a 与 b 的夹角．① 范围：向量 a 与 b 的夹角的范围是[0°，180°]．② 当 θ＝0°时，a 与 b 同向．③ 当 θ＝180°时，a 与 b 反向．(2)垂直：如果 a 与 b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直，记作 a⊥b. 两向量夹角概念的正确理解(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA与向量AB的夹角，∠BAD 才是向量CA与向量AB的夹角．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( )(2)若 e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则 λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( )(3) 若 ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则 a＝c，b＝d.( )答案：(1)× (2)√ (3)×2．设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A．①② B．①③C．①④ D．③④解析：①AD与AB不共线；②DA＝－BC，则DA与BC共线；③CA与DC...