第 2 课时 数列的递推公式教学建议1.本节内容是整个数列内容的基础,其 中,数列的通项公式和递推公式的应用是高考命题的热点.考查题型一般为:(1)概念创新题,考查数列的概念;(2)涉及求一些简单的递推数列的通项公式问题.2.(1)对通项公式及递推公式的考查是本课时的热点.(2)本课时的内容常与函数、不等式结合命题.(3)多以选择题、解答题的形式考查.教学参考数列的周期性先看下面的题目:已知数列{an}满足 a1=x,a2=y,且 an+1=an-an-1(n≥2).记 Sn=a1+a2+…+an,试求 a2 010.我们作如下分析:题 目给出了数列递推公式及初始值 a1,a2.由递推关系 an+1=an-an-1依次代入,便可求出 a2 010,但运算较繁,不易迅速求解,这种思路显然不符合题目意图.那么,这个数列中的项有无规律性呢?我们不妨填写一个表格,见下表(空格处 自己填写).a1xa7a13a2ya8a14a3y-xa9a15a4-xa10a16a5-ya11a17a6x-ya12a18从表中不难发现,数列每隔 6 项其数值重复出现一次,数值依次为 x,y,y-x,-x,-y,x-y.这种“ 重复”为我们解题找到了思路.解:a2 010=a334×6+6=a6=x-y.数列{an}中这种项的“重复性”实质上就是数列的周期性.我们对这种性质给出如下定义:对于数列{an},如果存在一个正整数 T,对任意的 n∈N*,都有 an+T=an,那么数列{an}就称为周期数列,其中 T 就是{an}的周期.实际上,前面的数列{an}满足:an+1=an -an-1=(an-1-an-2)-an-1=-an-2=-an-3+a n-4=-an-4+an-5+an-4=an-5,所以 an+6=an.故{an}是 T=6 的周期数列.
