高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的线性运算 2.1.3 向量的减法预习导航学案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学学案

2.1.3 向量的减法预习导航课程目标学习脉络1．掌握向量减法的运算，并理解其几何意义．2．明确相反向量的意义，能用相反向量说出向量相减的意义．3．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算，并且能化简含有向量的式子．1．向量减法的定义(1)已知向量 a，b(如图)，作=a，=b，则 b+=a，向量§叫做向量 a 与 b 的差，记作 a－b，即＝a－b＝－．(2)向量的减法是向量加法的逆运算，如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．(3)一个向量等于它的终点相对于点 O 的位置向量减去它的始点相对于点 O 的位置向量，或简记为“终点向量减始点向量”．名师点拨 (1)向量的减法是向量加法的逆运算．求两个向量的差，必须把两个向量的始点放在一起，它们的差是以减向量的终点为始点，以被减向量的终点为终点的向量．(2)以向量＝a 与＝b 为邻边作平行四边形 ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后的应用中非常重要．自主思考 1 试证明：对于任意两个向量 a，b，都有||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|．提示：若 a，b 至少有一个是 0，则不等式显然成立．若 a，b 都不是 0 时，作＝a，＝b，则＝－＝a－b．① 当 a，b 不共线时，如图(1)所示，则|||－|||<||<||＋||，即||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|．② 当 a，b 共线时，若 a，b 同向，如图(2)所示，||＝|||－|||，即||a|－|b||＝|a－b|；若 a，b 反向，如图(3)所示，||＝||＋||，即|a－b|＝|a|＋|b|．综上可得||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|． 图(1) 图(2) 图(3)2．相反向量的定义和性质及向量减法的再理解(1)定义．与向量 a 方向相反且等长的向量叫做 a 的相反向量，记作－a(如图所示)．(2)性质．①a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；②－(－a)＝a；③ 零向量的相反向量仍是 0，即 0＝－0．(3)向量减法的再理解．从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量，因此关于向量减法的作图一是利用向量减法的定义直接作图，二是利用相反向量作图．名师点拨 (1)相反向量从两个方面进行定义，即“模长”与“方向”，这是考虑向量问题的基本出发点．(2)相反向量必是平行向量．