2．3 平面向量的数量积2．3.1 向量数量积的物理背景与定义[学习目标] 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力 F 的作用下产生位移 s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．[知识链接]1．如图，一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，且力 F 与位移 s 的夹角为 θ，那么力 F 所做的功 W 是多少？答 W＝|F||s|cos θ.2．向量的数量积与数乘向量的区别是什么？答 向量的数量积 a·b 是一个实数，不考虑方向；数乘向量 λa 是一个向量，既有大小，又有方向．[预习导引]1．两个向量的夹角(1)已知两个非零向量 a，b(如图所示)，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹角，记作〈a，b〉，并规定它的范围是[0，π]．(2)当〈a，b〉＝时，我们说向量 a 和向量 b 互相垂直，记作 a⊥b.在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．2．向量在轴上的正射影如图，已知向量 a 和轴 l，作OA＝a，过点 O，A 分别作轴 l 的垂线，垂足分别为 O1，A1，则向量O1A1叫做向量 a 在轴 l 上的正射影(简称射影)，该射影在轴 l 上的坐标，称作 a 在轴 l 上的数量或在轴 l 的方向上 的数量．OA＝a 在轴 l 上正射影的坐标记作 al，向量 a 的方向与轴 l 的正向所成的角为 θ，则由三角函数中的余弦定义有 al＝|a|cos θ.3．向量的数量积(内积)定义|a||b|cos 〈a，b〉叫做向量 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 a·b.即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．4．平面向量的数量积的性质(1)如果 e 是单位向量，则 a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉(a≠0)．(2)a⊥b⇒a·b＝0，且 a·b＝0⇒a⊥b(a≠0，b≠0)．(3)a·a＝|a|2或|a|＝.(4)cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)．(5)|a·b|≤|a||b|.要点一 平面向量数量积的基本概念例 1 判断正误，并简要说明理由．(1)a·0＝0；(2)0·a＝0；(3)a 与 b 是两个单位向量，则 a2＝b2.解 上述 3 个命题中只有(3)正确；对于(1)：两个向量的数量积是一个实数，应有 a·0＝0；对于(2)：应有 0·a＝0；对于(3)：|a|＝|b|＝1⇒a2＝b2＝1.规律方法 两向量的数量积是两向量之间的一种乘法运算，它与两数之间的乘法运算有本质的区别，这一类型题，要求学生把握好数量积的定义、性质．跟踪演练 1 已知 a、b、c 是三个非零向量，则下列问题中真命题的个数为( )①a·b＝±|a|·|...
