2.1.4 向量数乘预习导航课程目标学习脉络1．掌握数乘向量的定义，并理解其几何意义．2．掌握数乘向量的运算律．3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．数乘向量(1)实数 λ 和向量 a 的乘积是一个向量，记作 λa，且 λa 的长度|λa|＝|λ||a|．若a≠0，当 λ＞0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ＜0 时，λa 的方向与 a 的方向相反 ． 当 λ＝0 或 a＝0 时，0a＝0 或 λ0＝0．(2)向量数乘的几何意义：把向量 a 沿着 a 的方向或 a 的反方向放大或缩小．自主思考 1 试讨论 λ 的取值对 λa 的方向和长度的影响？提示：若 a≠0，当 λ>1 时，沿 a 的方向放大为原来的 λ 倍；当 0<λ<1 时，沿 a 的方向缩小为原来的 λ 倍；当 λ<－1 时，沿 a 的反方向放大为原来的|λ|倍；当－1<λ<0 时，沿 a 的反方向缩小为原来的|λ|倍．由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的相似问题．(3)数乘向量的运算律．设 λ，μ 为实数，则①(λ＋μ)a＝λa＋μa；②λ(μa)＝(λμ)a；③λ(a＋b)＝λa＋λb．自主思考 2 数乘向量与实数的乘法有何区别？提示：(1)数乘向量与实数的乘法是有区别的，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数．特别要注意当 λ＝0 时，λa＝0，此处最容易出现的错误是将实数 0 与向量 0混淆，错误地表述成 λa＝0．(2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如 λ＋a，λ－a 是无意义的．
