第 2 课时 等差数列的性质学习目标：1.掌握等差数列的有关性质(重点、易错点).2.能灵活运用等差数列的性质解决问题(难点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．等差数列的图象等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d，当 d＝0 时，an是一固定常数；当 d≠0 时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以 d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．思考：由上式可得 d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？[提示] 等差数列的通项公式可以变形为 an＝nd＋(a1－d)，是关于 n 的一次函数，d 为斜率，故两点(1，a1)，(n，an)直线的斜率 d＝，当两点为(n，an)，(m，am)时有 d＝.2．等差数列的性质(1){an}是公差为 d 的等差数列，若正整数 m，n，p，q 满足 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋ a q.① 特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak.② 对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即 a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．(3)若{an}是公差为 d 的等差数列，则①{c＋an}(c 为任一常数)是公差为 d 的等差数列；②{can}(c 为任一常数)是公差为 cd 的等差数列；③{an＋an＋k}(k 为常数，k∈N*)是公差为 2 d 的等差数列．(4)若{an}，{bn}分别是公差为 d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q 是常数)是公差为pd1＋ qd 2 的等差数列．(5){an}的公差为 d，则 d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．思考：若{an}为等差数列，且 m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则 am＋an＝ap一定成立吗？[提示] 不一定．如常数列{an},1＋2＝3，而 a1＋a2＝2a3.[基础自测]1．思考辨析(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．( )(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列．( )(3)若{an}是等差数列，则对任意 n∈N*都有 2an＋1＝an＋an＋2.( )(4)数列{an}的通项公式为 an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数 y＝3x＋5 的图象的斜率相等．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√提示：(1)错误，如－2，－1,0,1,2 是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．(2)错误，如数列－1,2，－3,4，－5 其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．(3)正确，根据等差数列的通项可判定对任意 n∈N*都有 2an＋1＝an＋an＋2成立．(4)正确．因为 an＝3n＋5 的公差 d...
