2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算课堂导学三点剖析 一、向量共线的概念及共线的条件 1.向量共线的概念如果向量的基线互相平行或重合,则称这些向量共线或互相平行. 2.向量共线的条件——平行向量定理 平行向量定理:如果 a=λb,则 a∥b;反之,如果 a∥b(b≠0),则一定存在一个实数 λ,使a=λb.注意:(1)本定理由向量平行和向量数乘的定义可以直接推知.(2)本定理深刻地揭示了平面内全体与非零向量 b 共线的向量的基本结构.【例 1】 判断向量 a=-2e 与 b=2e 是否共线.思路分析：要分 e=0 与 e≠0 两种情况分析.解:(1)当 e=0 时,则 a=-2e=0.由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”,所以,此时 a 与 b 共线.(2)当 e≠0 时,则 a=-2e≠0,b=2e≠0.∴b=-a(这时满足定理中的 a≠0 及有且只有一个实数 λ(λ=-1),使得 b=λa 成立).∴a 与 b共线.综合(1)(2)可知,a 与 b 共线.各个击破类题演练 1已知向量 a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中 e1,e2 不共线,向量 c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ,μ,使 d=λa+μb 与 c 共线?思路分析:根据向量共线条件列式求解.解:设存在 λ,μ 使得 d 与 c 共线,并设 m(2e1-9e2)=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2),则 m=λ+μ 且 m=,解得 λ=-2μ,即存在实数 λ,μ,使得 d=λa+μb 与 c 共线.变式提升 1设两个非零向量 e1,e2不是平行向量,试确定实数 k 的值,使 ke1+e2和 e1+ke2是两个平行向量.思路分析:运用平行向量定理列式求解.解:因为(ke1+e2)∥(e1+ke2),所以存在唯一实数 p 使 ke1+e2=p(e1+ke2)成立,所以(k-p)e1=(pk-1)e2,因为 e1与 e2不是平行向量,且为非零向量,所以 k-p=0 且 pk-1=0,所以 k=±1.温馨提示(1)向量共线的充要条件:a 与 b 共线存在唯一 λ 使 b=λa(a≠0).(2)利用两个向量共线的充要条件证明多点共线,通常是采用列方程(组)的方法. 二、轴上向量的坐标及其运算 关于这部分内容要注意:1.轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.2.设 e 是轴 l 上的一个基向量.的坐标又常用表示,这时=ABe.3.在数轴 x 上,已知点 A 的坐标为 x1,点 B 的坐标为 x2,则 AB=x2-x1. 即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.这样,又可以得到数轴上两点的距离公式:|AB|=|x2-x1|.【例 2】 已知轴上三点 A,B,C,且 AC=2,BC=-2,则 AB 等于( )A.0 B.4 C.-4 D.非...
