2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算课堂探究探究一 轴上向量的坐标运算首先利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意向量坐标运算公式的顺序，还要注意模运算中可能会出现的两种情形．【例 1】 已知数轴上四点 A，B，C，D 的坐标分别是－4，－2，c，d．(1)若 AC＝5，求 c 的值；(2)若|BD|＝6，求 d 的值；(3)若＝－3，求证：3＝－4．分析：解答本题首先根据条件表示出两点所对应的向量的坐标，然后求解或证明．解：(1)因为 AC＝5，所以 c－(－4)＝5．所以 c＝1．(2)因为|BD|＝6，所以|d－(－2)|＝6，即 d＋2＝6 或 d＋2＝－6，所以 d＝4 或 d＝－8．(3)证明：因为＝＋＝－＋，而＝－3，所＝－(－3)＋＝4．所以 3＝12．又－4＝－4×(－3)＝12，故 3＝－4．探究二 平行向量基本定理的应用证明三点共线可以利用向量共线来解决，注意选取的向量要有公共点，利用向量共线条件求参数，主要是根据 a＝λb 列出方程(组)、解方程(组)．【例 2】 (1)已知两个非零向量 e1，e2 不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2．求证：A，B，D 三点共线．(2)设 e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1＋ke2，设＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若有 A，B，D 三点共线，求 k 值．分析：(1)若 A，B，D 三点共线，只需证明＝．(2)由＝列出方程组求 k．(1)证明：因为＝＋＋＝(2e1＋3e2)＋(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2)＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)，又＝2e1＋3e2，所以＝6．所以与共线．又因为 AB，AD 有公共点 A，所以 A，B，D 三点共线．(2)解：＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，因为 A，B，D 共线，所以，共线，所以存在 λ 使＝．所以 2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，所以所以 k＝－8．点评 由以上解答可以看出，三点共线与向量共线是可以相互转化的．但是注意选取的两个向量一定要有一个公共点．探究三 利用平行向量基本定理证明几何问题应用向量共线定理证明直线平行或三点共线问题时，关键是把一个向量用有关向量线性表示出来，即确定向量等式 b＝λa(a≠0)，再结合图形完成证明．【例 3】 如图所示，已知在梯形 ABCD 中，AB∥DC，E，F 分别是 AD，BC 的中点，用向量法证明 EF∥AB，EF＝ (AB＋DC)．分析：首先结合图形与所求证的问题，将几何条件向向量条件转化，再充分利用向量的线性运算与共线向量定理求证．证明：延长 EF 到点 M，使得 FM=EF，连接 CM，BM，EC，EB 得▱ECMB，由...
