2.1 向量的线性运算预习导航课程目标学习脉络1．理解单位向量、基向量等基本概念．2．掌握平行向量基本定理．3．熟记轴上向量坐标运算公式，并会简单应用．1．平行向量基本定理如果 a＝λb，则 a∥b；反之，如果 a∥b，且 b≠0，则一定存在唯一一个实数 λ，使a＝λb．自主思考 1 条件“b≠0”是否可以去掉，若不能请说明理由？提示：因为如果 b＝0，则一定有 a 与 b 共线(零向量与任意向量共线)，此时 a 有两种情况：① a＝0；② a≠0．若 a＝0，此时 a＝λb 中的 λ 有无数个，若 a≠0，此时不存在λ 使得 a＝λb 成立．以上两种情况违背 λ 的“存在且唯一性”．自主思考 2 对任意两个向量 a，b，若存在不全为 0 的实数对(λ，μ)，使 λa＋μb＝0，则 a 与 b 是否共线？提示：共线．证明如下：若 a，b 中至少有一个为零向量，结论显然成立；若 a，b 均为非零向量，不妨设 μ≠0，则 b＝－a，说明 a 与 b 共线．但若向量 a，b 不共线，当λa＋μb＝0 时，一定有 λ＝μ＝0．自主思考 3 如何利用平行向量基本共线定理证明三点共线？提示：利用向量的共线条件证明三点共线的一般步骤为：① 以三点中任意两个点为端点构造两个有一个共同端点的向量 a，b；② 证明两个向量满足平行向量基本定理，即存在唯一实数 λ，使 b＝λa 或 a＝λb 成立；③ 由两条线段有共同的端点得出结论：三点共线．2．三点共线的一个常用结论向量，，的终点 A，B，C 共线，则存在实数 λ，μ，且 λ＋μ＝1，使得＝＋，反之也成立．证明：如图所示，若，，的终点 A，B，C 共线，则∥，故存在实数 m，使得=m．又因为=-，=-，所以-=m(-)，所以=-m+(1+m) ．令 λ=-m，μ=1+m，则存在 λ，μ，且 λ+μ=1，使得=λ+μ．反之，若=λ+μ，其中 λ+μ=1 成立，则 μ=1-λ，=λ+(1-λ) ．于是有-=λ(-)，即=λ，所以 A，B，C 三点共线，即向量，，的终点在一条直线上．3．单位向量给定一个非零向量 a，与 a 同方向且长度等于 1 的向量，叫做向量 a 的单位向量，记作a0，a0＝．4．轴上向量的坐标及坐标运算
