高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列（2）学案 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学学案VIP专享

2.2 等差数列（1）学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．知识点一 等差数列通项公式的推广思考 1 已知等差数列{an}的首项 a1和公差 d 能表示出通项 an＝a1＋(n－1)d，如果已知第 m项 am和公差 d，又如何表示通项 an?答案 设等差数列的首项为 a1，则 am＝a1＋(m－1)d，变形得 a1＝am－(m－1)d，则 an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1)d＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.思考 2 由思考 1 可得 d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？答案 等差数列通项公式可变形为 an＝dn＋(a1－d)，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，a1)，(n，an)，(m，am)都是这条直线上的点．d 为直线的斜率，故两点(1，a1)，(n，an)连线的斜率 d＝.当两点为(n，an)，(m，am)时，有 d＝.梳理 等差数列{an}中，若公差为 d，则 an＝am＋(n－m)d，当 n≠m 时，d＝.知识点二 等差数列的性质思考 还记得高斯怎么计算 1＋2＋3＋…＋100 的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？答案 利用 1＋100＝2＋99＝….在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即 a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….梳理 在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq.特别地，若 m＋n＝2p，则 an＋am＝2ap.知识点三 由等差数列衍生的新数列思考 若{an}是公差为 d 的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？答案 (an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝d＋d＝2d.∴{an＋an＋2}是公差为 2d 的等差数列．梳理 若{an}，{bn}分别是公差为 d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋an}公差为 d 的等差数列(c 为任一常数){c·an}公差为 cd 的等差数列(c 为任一常数){an＋an＋k}公差为 2d 的等差数列(k 为常数，k∈N*){pan＋qbn}公差为 pd＋qd′的等差数列(p，q 为常数)类型一 等差数列推广通项公式的应用例 1 在等差数列{an}中，已知 a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．解 因为 a8＝a2＋(8－2)d，所以 17＝5＋6d，解得 d＝2.又因为 an＝a2＋(n－2)d，所以 an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1.1反思与感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．跟踪训练 1 数列{an}的首项为 3，{bn}为等差数列，且 bn＝an＋1－an(n∈N*)，若 b3＝－2，b10＝12，则 a8等于( )A．0...