2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算 [学习目标] 1.理解平行向量基本定理，能熟练运用该定理处理向量共线和三点共线问题.2.理解轴上向量坐标的含义及运算.3.能运用轴上向量的坐标及长度公式进行相关的计算．[知识链接]1．请观察 a＝m－n，b＝－2m＋2n，回答 a、b 有何关系？答 因为 b＝－2a，所以 a、b 是平行向量．2．若 a、b 是平行向量，能否得出 b＝λa？为什么？答 可以．因为 a、b 平行，它们的方向相同或相反．[预习导引]1．平行向量基本定理(1)平行向量基本定理：如果 a＝λb，则 a∥b；反之，如果 a∥b，且 b≠0，则一定存在唯一一个实数 λ，使 a＝λb.(2)a 的单位向量：给定一个非零向量 a，与 a 同方向且长度等于 1 的向量，叫做向量 a 的单位向量，记作 a0.由数乘向量的定义可知 a＝|a|a0或 a0＝.2．轴上向量的坐标(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴．当在轴上选一定点 O 作为原点时，轴就成了数轴 ． (2)轴上向量的坐标：已知轴 l，取单位向量 e，使 e 的方向与轴 l 的方向相同，对轴上任意向量 a，一定存在唯一实数 x，使 a＝xe，单位向量 e 叫做轴 l 的基向量，x 叫做 a 在 l 上的坐标(或数量)．① 给定单位向量 e，能生成与它平行的所有向量的集合{xe|x∈R}；②x 的绝对值等于 a 的长；当 a 与 e 同方向时，x 是正数，当 a 与 e 反方向时，x 是负数．于是在一条轴上，实数与这条轴上的向量建立起一一对应关系，我们就可用数值来表示向量．3．轴上向量的坐标运算(1)轴上两个向量相等的法则：轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等，即设 a＝x1e，b＝x2e，则 a＝b⇔x1＝ x 2.(2)轴上求两个向量和的法则：轴上两个向量的和的坐标等于两个向量的坐标的和，即设 a＝x1e，b＝x2e，则 a＋b＝(x1＋x2)e.(3)轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标，即在数轴 x 上，OA＝x1e，OB＝x2e，则AB＝(x2－x1)e.(4)数轴上两点的距离公式：|AB|＝| x 2－ x 1|.要点一 向量共线的判定及应用例 1 已知非零向量 e1，e2不共线．(1)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)，求证：A、B、D 三点共线．(2)欲使 ke1＋e2和 e1＋ke2共线，试确定实数 k 的值．(1)证明 AB＝e1＋e2，BD＝BC＋CD＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB.∴AB，BD共线，且有公共点 B，∴A、B、D 三点共线．(2)解 ke1＋e2与 e1＋ke2共线，∴存在 λ ...
