第 2 课时 等差数列的性质学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算．知识点一 等差数列通项公式的变形及推广①an＝dn＋(a1－d)(n∈N＋)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)，③d＝(m，n∈N＋，且 m≠n)．其中①的几何意义是点(n，an)均在直线 y＝dx＋(a1－d)上．② 可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求 a1.③ 即斜率公式 k＝，可用来由等差数列任两项求公差．知识点二 等差数列的性质在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则 am＋an＝ap＋aq.特别地，若 m＋n＝2p，则 am＋an＝2ap.知识点三 由等差数列衍生的新数列若{an}，{bn}分别是公差为 d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋an}公差为 d 的等差数列(c 为任一常数){c·an}公差为 cd 的等差数列(c 为任一常数){an＋an＋k}公差为 2d 的等差数列(k 为常数，k∈N＋){pan＋qbn}公差为 pd＋qd′的等差数列(p，q 为常数)1．若数列{an}的通项公式 an＝kn＋b，则{an}是公差为 k 的等差数列．( √ )2．等差数列{an}中，必有 a10＝a1＋a9.( × )3．若数列 a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列 a1，a3，a5，…也是等差数列．( √ )4．若数列 a1，a3，a5，…和 a2，a4，a6…都是公差为 d 的等差数列，则 a1，a2，a3…是等差数列．( × )题型一 an＝am＋(n－m)d 的应用例 1 在等差数列{an}中，已知 a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．解 因为 a8＝a2＋(8－2)d，所以 17＝5＋6d，解得 d＝2.又因为 an＝a2＋(n－2)d，所以 an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1，n∈N＋.反思感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令 m＝1，an＝am＋(n－m)d 即变为 an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担．跟踪训练 1 {bn}为等差数列，若 b3＝－2，b10＝12，则 b8＝________.答案 8解析 方法一 {bn}为等差数列，∴可设其公差为 d，则 d＝＝＝2，∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.∴b8＝2×8－8＝8.方法二 由＝＝d，得 b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8.题型二 等差数列性质的应用例 2 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．解 方法一 因为 a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以 a4＝5.又因为 a2a4a6＝45，所以 a2a6＝9，所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9，解得 d＝±2.若 d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3，n∈N＋；若 d＝－2...
