2.4 平面向量的数量积 1课堂探究探究一 向量数量积的运算求向量数量积的方法：1．分别求出向量 a 与向量 b 的模及向量 a 与向量 b 夹角的余弦值，然后根据数量积的定义求解．如待求式是较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．在运算时要注意确定两个向量的夹角，特别是平行向量要注意向量是同向还是反向．2．如果涉及图形的数量积的运算，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量进行向量线性运算后求数量积．这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量．【典型例题 1】 已知|a|＝2，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，试求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(a－b)；(3)(2a－b)·(a＋3b)．解：(1)a·b＝|a|·|b|cos 120°＝2×3×＝－3.(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×4－5×3－3×9＝－34.【典型例题 2】 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，E，F 分别为 BC，CD 的中点，求·的值．解：由已知得||＝2，||＝2， ⊥.∴·＝0.又由图可知，＝＋＝＋＝＋.＝＋＝＋＝＋.∴·＝·＝·＋2＋2＋·＝||2＋||2＝4.探究二求向量的模利用数量积求解模的问题是数量积的重要应用，注意以下两点：1．此类求模的问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用 a2＝|a|2，勿忘记开方；2．向量数量积与模的关系及其作用：a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此关系用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．【典型例题 3】 (1)已知向量 a，b 满足|a|＝|b|＝5，且 a 与 b 的夹角为 60°，则|2a＋b|＝________.(2)已知向量 a，b 满足|a|＝，a 与 b 的夹角为 135°，|a＋b|＝，则|b|＝________.解析：(1)|2a＋b|2＝(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4|a|2＋4|a||b|cos 60°＋|b|2＝4×25＋4×5×5×＋25＝175.∴|2a＋b|＝5.(2) |a＋b|＝，∴a2＋2a·b＋b2＝5，∴|a|2＋2|a|·|b|cos θ＋|b|2＝5.∴|b|2－2|b|－3＝0.∴|b|＝3 或|b|＝－1(舍去)．答案：(1)5 (2)3探究三 有关向量的夹角与垂直问题1．求两向量的夹角主要借助公式 cos θ＝，求解方法有两种：一是根据已知条件求出 a·b，|a|与|b|，代入公式求解；二是找出|a|，|b|与 a·b 的关系通过约分求解，注意夹角的范围．2．非零向量 a·b＝0⇔a⊥b 是非常重要的性质，应熟练掌握．【典型例题 4】 (1)已知...
