2.4 平面向量的数量积 1预习导航课程目标学习脉络1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．掌握向量 a 与 b 的数量积公式及其投影的定义．3．掌握平面向量数量积的性质及运算律．4．会求向量的数量积、长度、夹角，会用两个向量的数量积解决向量的垂直问题. 1．平面向量的数量积定义已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，其中 θ 是 a 与 b 的夹角记法记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ规定零向量与任一向量的数量积为 0投影|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影几何意义数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积思考 1 向量的数量积的运算结果是向量还是实数？如果是向量，如何确定大小和方向 ？如果是实数，如何确定它的符号？提示：向量的数量积是实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦之积．当 a，b 为非零向量时，由 a·b＝|a||b|cos θ，a·b 的符号由 a 与 b 的夹角 θ 的余弦值来确定．当 0°≤θ<90°时，a·b>0；当 90°<θ≤180°时，a·b<0，当 a 与 b 至少有一个为零向量或 θ＝90°时，a·b＝0.思考 2 根据投影的定义，如何利用两向量的数量积求向量 a 在向量 b 上的投影？提示：根据向量数量积的定义可知，向量 a 在向量 b 上的投影为|a|cos θ，又 a·b＝|a||b|cos θ，所以 cos θ＝，所以向量 a 在向量 b 上的投影为|a|cos θ＝|a|×＝.2．运算律交换律a·b＝b·a结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c思考 3 平面向量数量积运算适合乘法结合律吗？提示：数量积的运算只适合交换律、分配律及数乘结合律，不适合乘法结合律，即(a·b)c 不一定等于 a(b·c)，这是因为(a·b)c 表示一个与 c 共线的向量，而 a(b·c)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线．3．向量数量积的性质设 a，b 为两个非零向量，a 与 b 的夹角为 θ.垂直a⊥b⇔a·b＝0共线同向a·b＝|a||b|a·a＝a2＝|a|2，|a|＝反向a·b＝－|a||b|绝对值|a·b|≤|a||b|符号a·b>0θ∈a·b＝0θ＝a·b<0θ∈夹角公式cos θ＝思考 4 当两向量的数量积为零时，这两个向量垂直吗？提示：不一定垂直．当两向量都不为零时，若数量积为零，则两向量垂直．
