2.4 平面向量的数量积 2课堂探究探究一数量积的坐标运算1．进行向量的数量积运算，前提是牢记有关数量积的运算法则和运算性质；2．对于运用数量积求向量坐标的问题，通常是运用待定系数法，建立方程(组)求解．【典型例题 1】 已知向量 a＝(－1,2)，b＝(3,2)．(1)求 a·(a－b)；(2)求(a＋b)·(2a－b)；(3)若 c＝(2,1)，求(a·b)c，a(b·c)．解：(1)解法一： a＝(－1,2)，b＝(3,2)，∴a－b＝(－4,0)．∴a·(a－b)＝(－1,2)·(－4,0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.解法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.(2) a＋b＝(－1,2)＋(3,2)＝(2,4)，2a－b＝2(－1,2)－(3,2)＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2)，∴(a＋b)·(2a－b)＝(2,4)·(－5,2)＝2×(－5)＋4×2＝－2.(3)(a·b)c＝[(－1,2)·(3,2)](2,1)＝(－1×3＋2×2)(2,1)＝(2,1)．a(b·c)＝(－1,2)[(3,2)·(2,1)]＝(－1,2)(3×2＋2×1)＝8(－1,2)＝(－8,16)．【典型例题 2】 已知向量 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求向量 a 的坐标．解： a 与 b 同向，且 b＝(1,2)，∴设 a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．又 a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．探究二向量垂直的问题有关向量垂直的问题，通常利用它们的数量为 0 来解决，如果是几何中用向量研究垂直，可先建立直角坐标系，将相关的向量用坐标表示，利用向量垂直时数量积为 0，建立关系求解，再回到要解决的几何问题中．【典型例题 3】 (1)已知向量 a＝(1,2)，向量 b＝(x，－2)，且 a⊥(a－b)，则实数 x等于( )A．9 B．4 C．0 D．－4(2)在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝2，E，F 分别在 AB，AD 上，且 AE＝1，则当 DE⊥CF时，AF＝________.解析：(1)由已知得 a－b＝(1－x,4)． a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝0. a＝(1,2)，∴1－x＋8＝0，∴x＝9.(2)建立如图所示的直角坐标系，则点 C 的坐标为(3,2)，D(0,2)，E(1,0)．设 F(0，y)，则＝(1，－2)，＝(－3，y－2)． DE⊥CF，∴⊥，∴－3－2y＋4＝0，得 y＝，∴F，∴AF＝.答案：(1)A (2) 探究三 运用向量坐标求模、夹角1．运用坐标求向量的模一般有两种解决方法：一是先求出向量的坐标再求模，二是先平方转化为数量积再求模．2．用坐标求两个向量夹角的四个步骤：(1)求 a·b 的值；(2)求|a||b|的值；(3)根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦；(4)由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．【典型例题 4】 已知 a＝(1,2...
