高中数学 第二章 空间向量与立体几何 1 从平面向量到空间向量学案 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学学案

1 从平面向量到空间向量学习目标 1.理解空间向量的概念.2.了解空间向量的表示法，了解自由向量的概念.3.理解空间向量的夹角.4.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念.知识点一 空间向量的概念思考 1 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.思考 2 若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也一定相同吗？梳理 空间向量的有关概念(1)定义：在空间中，把既有______又有______的量，叫作空间向量.(2)长度：空间向量的大小叫作向量的______或____.(3)表示法(4)自由向量：与向量的起点无关的向量.知识点二 空间向量的夹角思考 在平面内，若非零向量 a 与 b 共线，则它们的夹角是多少？梳理 空间向量的夹角(1)文字叙述：a，b 是空间中两个非零向量，过空间任意一点 O，作OA＝a，OB＝b，则________叫作向量 a 与向量 b 的夹角，记作______________.(2)图形表示：角度表示〈a，b〉＝____〈a，b〉是____〈a，b〉是____〈a，b〉是____〈a，b〉＝____1(3)范围：____≤〈a，b〉≤____.(4)空间向量的垂直：如果〈a，b〉＝______，那么称 a 与 b 互相垂直，记作________.知识点三 向量与直线、平面1.向量与直线与平面向量一样，也可用空间向量描述空间直线的方向.如图所示.l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任意两点，则称AB为直线 l 的______向量，显然，与AB平行的任意非零向量 a 也是直线 l 的方向向量，直线的方向向量______于该直线.2.向量与平面如图，如果直线 l 垂直于平面 α，那么把直线 l 的方向向量 a 叫作平面 α 的________.类型一 有关空间向量的概念的理解例 1 给出以下结论：① 两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量 a，b 满足|a|＝|b|，则 a＝b；③在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，必有AC＝A1C1；④若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p，则 m＝p.其中不正确的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4反思与感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同，模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.跟踪训练 1 (1)在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1中，下列四对向量：①AB与C1D1；②AC1与BD1；③AD1与C1B；④A1D与B1C.其中互为相反向量的有 n 对，则 n 等于( ) A.1 B.2C.3 D.4(2)如图，在长方体 ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别...