高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积知识导航学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

2.4 平面向量的数量积知识梳理1.平面向量数量积的含义已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b ， 我 们 把 数 量 |a||b|cosθ 叫 做 a 与 b 的 数 量 积 （ linner product）（或内积），记作 a·b，即规定 a·b=|a||b|cosθ,其中 θ 是 a 与 b 的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫作向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影（projection）.并且规定，零向量与任一向量的数量积为 0.2.平面向量数量积的运算律已知向量 a、b、c 和实数 λ，则有：(1)a·b=b·a；(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；(3)(a+b)·c=a·c+b·c.3.平面向量数量积的坐标表示（1）设 a=(x1，y1)，b=(x2,y2)，则 a·b=x1x2+y1y2.（2）平面向量数量积公式的几个推论：① 若 a=(x，y),则有|a|=;② 设 A、B 两点的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2)，则|AB|=.③ 若 a=(x1,y1),b=(x2，y2),a、b 的夹角为 θ，则有cosθ=.若 θ=90°，则 cosθ=0，公式变形为 x1x2+y1y2=0，这是两向量垂直的等价说法，即 a⊥bx1x2+y1y2=0.知识导学 要学好本节内容，可通过探究活动利用向量的数量积定义推导有关结论，通过概念辨析题加深对平面向量数量积的认识，在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，以熟练地应用数量积的性质.处理向量的问题我们可以有两种思路:一是纯向量式,二是向量的坐标式,我们要灵活运用,二者互相补充,根据不同题目选择不同的方法.疑难突破1.向量的夹角.剖析：（1）如图 2-4-1，已知两个向量 a、b，作=a，=b,则∠AOB 叫做向量 a、b的夹角.图 2-4-1（2）两个向量 a、b 的夹角 θ∈［0,π］.当 θ=0 时，a、b 同向，当 θ=π 时，a、b 反向.当 θ=90°时，两向量 a 与 b 垂直，并记作 a⊥b.2.向量的数量积与实数的乘法有何区别?剖析： (1)如果两个数 a·b=0，则 a 与 b 中至少有一个为 0.而 a·b=0 可推导出以下四种可能：①a=0，b=0；② a=0，b≠0；③ a≠0，b=0；④ a≠0，b≠0，但 a⊥b.(2)对于数量有：实数 a、b、c 且 ab=ac,a≠0b=c.但对于向量，这种推理就不正确，即a·b=a·c，且 a≠0 推不出 b=c.例如：|a|=1，|b|=,|c|=,a 与 b 的夹角为,a 与 c 的夹角为 0°，显然 a·b=a·c=，但 b≠c.3.怎样确定两个向量的数量积的符号?剖析：两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量夹角余弦值的乘积，由于|a|、|b|均为正数，故其符号由夹角来决定....