高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2 空间向量的运算（三）学案 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学学案

2 空间向量的运算（三）学习目标 1.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.知识点一 空间向量数量积的概念思考 1 如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量OA与BC的数量积？并总结求两个向量数量积的方法. 思考 2 在等边△ABC 中，AB与BC的夹角是多少？梳理 (1)定义：已知两个非零向量 a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作 a，b 的数量积，记作 a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝____________交换律a·b＝________分配律a·(b＋c)＝________知识点二 空间向量的数量积的性质两个向量数量积的性质① 若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔____________② 若 a 与 b 同向，则 a·b＝__________；若反向，则 a·b＝__________.特别地，a·a＝__________或|a|＝③ 若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝________________④|a·b|≤|a|·|b|类型一 空间向量数量积的运算1命题角度 1 空间向量数量积的基本运算例 1 (1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明.①p2·q2＝(p·q)2；②|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|；③ 若 a 与(a·b)·c－(a·c)·b 均不为 0，则它们垂直.(2)设 θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求：①a·b；②(3a－2b)·(a＋2b).反思与感悟 (1)如果已知 a，b 的模及 a 与 b 的夹角，则可直接代入数量积的公式计算.(2)如果欲求的是关于 a 与 b 的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用 a·a＝|a|2及数量积公式进行计算.跟踪训练 1 已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60°，那么|a＋3b|等于( )A. B. C. D.4命题角度 2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例 2 已知在长方体 ABCD—1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E 为侧面 AB1的中心，F 为 A1D1的中点.试计算：(1)BC·ED1；(2)BF·AB1；(3)EF·FC1.反思与感悟 两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积为 0.向量的数量积不满足结合律.跟踪训练 2 已知正四面体 OABC 的棱长为 1，求：(1)(OA＋OB )·(CA＋CB)；(2)|OA＋OB＋OC|.类型二 利用数量积求夹角或模命题角度 1 利用数量积求夹角例 3 已知 BB1⊥...