§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理3．1 & 3.2 空间向量的标准正交分解与坐标表示 空间向量基本定理空间向量的标准正交分解与坐标表示学生小李参加某大学自主招生考试，在一楼咨询处小李得知：面试地点由此向东 10 m，后向南 15 m，然后乘 5 号电梯到位于 6 楼的 2 号学术报告厅参加面试．设 e1是向东的单位向量，e2是向南的单位向量，e3是向上的单位向量．问题 1：e1，e2，e3有什么关系？提示：两两垂直．问题 2：假定每层楼高为 3 m，请把面试地点用向量 p 表示．提示：p＝10e1＋15e2＋15e3.标准正交基与向量坐标(1)标准正交基：在给定的空间直角坐标系中，x 轴、y 轴、z 轴正方向 的 单 位向量 i，j，k 叫作标准正交基．(2)标准正交分解：设 i，j，k 为标准正交基，对空间任意向量 a，存在唯 一 一 组三元有序实数(x，y，z)，使得 a＝xi＋yj＋zk，叫作 a 的标准正交分解．(3)向量的坐标表示：在 a 的标准正交分解中三元有序实数( x ， y ， z ) 叫作空间向量 a 的坐标，a＝(x，y，z)叫作向量 a 的坐标表示．(4)向量坐标与投影：①i，j，k 为标准正交基，a＝xi＋yj＋zk，那么 a·i＝x，a·j＝y，a·k＝z.把x，y，z 分别称为向量 a 在 x 轴、y 轴、z 轴正方向上的投影．② 向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．③ 一般地，若 b0为 b 的单位向量，则称 a·b0＝|a|cos〈a，b〉为向量 a 在向量 b 上的投影.空间向量基本定理空间中任给三个向量 a，b，c.问题 1：什么情况下，向量 a，b，c 可以作为一个基底？提示：它们不共面时．问题 2：若 a，b，c 是基底，则空间任一向量 v 都可以由 a，b，c 表示吗？提示：可以．如果向量 e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数 λ1，λ2，λ3使得 a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.其中 e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底．a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3表示向量 a 关于基底 e1，e2，e3的分解．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量 a，b，c 可以表示出空间任一向量；空间中的基底是不唯一的，空间任意三个不共面的向量均可作为空间向量的基底．空间向量的坐标表示[例 1] 如图，在空间直角坐标系中，有长方体 ABCD－A′B′C′D′，AB＝3，BC＝4，AA′＝6.(1)写出 C′的坐标，给出关于 i，j，k 的分解式；(2)求的坐标．[思路点拨] (1)C′的坐标(也是的坐标)，即...
