2.2 平面向量的线性运算（第 3 课时）课堂探究探究一向量数乘的运算向量的数乘运算类似于代数的多项式的运算，其解题方法为“合并同类项”“提取公因式”，“同类项”“公因式”指的是向量，实数与向量数乘，实数可看成是向量的系数．【典型例题 1】 计算：(1)4(a＋b)－3(a－b)－8a；(2)(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；(3) .思路分析：运用向量数乘的运算律求解．解：(1)原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b.(2)原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c.(3)原式＝＝＝a－b.【典型例题 2】 设向量 a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)．解：原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝a＋b＝－a＋b＝－ (3i＋2j)＋ (2i－j)＝i＋j＝－i－5j.探究二 共线向量定理及其应用共线向量定理是判断两个向量是否共线的依据，即对于非零向量 a，b，a∥b 是否成立，关键是能否确定唯一的实数 λ，使 b＝λa.而对于三点共线问题可转化为两个向量共线问题，再依据定理进行解决：要证 A，B，C 三点共线，只需证＝λ (λ∈R)或＝λ (λ∈R)．【典型例题 3】 已知向量 e1和 e2不共线．(1)若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D 三点共线；(2)欲使 ke1＋e2和 e1＋ke2共线，试确定实数 k 的值．思路分析：对于(1)，欲证明 A，B，D 三点共线，只需证明存在实数 λ，使＝λ即可．对于(2)，若 ke1＋e2与 e1＋ke2共线，则一定存在实数 λ，使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．解：(1) ＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，∴，共线，且有公共点 B，∴A，B，D 三点共线．(2) ke1＋e2与 e1＋ke2共线，∴存在实数 λ 使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.由于 e1与 e2不共线，只能有则 k＝±1.探究三数乘向量运算的综合应用1．用已知向量表示未知向量是用向量解题的基本功，解题时，应注意解题的方向，尽量把未知向量往已知向量的方向进行转化．要善于利用三角形法则、平行四边形法则，以及向量线性运算的运算律．如果题目中含有平面几何的相关问题时，我们可以利用平面几何的性质进行化简．另外，直接表示较困难时，应考虑方程思想的应用．2．注意以下结论的运用：(1)以 AB，AD 为邻边作▱ABCD，且＝a，＝b，则对角线所对应的向量＝a＋b，＝a－b.(2)在△ABC 中，若 D 为 BC 的中点，则＝ (＋)．(3)在△ABC 中，若 G 为△ABC 的重心，则＋＋＝0.【典型例题 4】 已知 P 是△ABC 所在平面内的一点...
