2.2 平面向量的线性运算（第 3 课时）预习导航课程目标学习脉络1.理解向量数乘的定义及几何意义．2．掌握向量数乘的运算律，并能用已知向量表示未知向量．3．掌握向量共线定理，会判定或证明两个向量共线. 1．向量的数乘定义一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 λa长度|λa|＝|λ||a|方向λ>0λa 的方向与 a 的方向相同λ＝0λa＝0λ<0λa 的方向与 a 的方向相反思考 1 向量数乘与原向量有什么样的关系？提示：向量数乘与原向量是共线向量．思考 2 向量数乘 λa 的几何意义是什么？提示：(1)当|λ|>1 时，有|λa|>|a|，这意味着表示向量 a 的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长了|λ|倍．(2)当 0<|λ|<1 时，有|λa|<|a|，这意味着表示向量 a 的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短了|λ|倍．思考 3 向量的大小与方向如何？提示：向量的大小为 1，方向与 a 的方向相同，所以该向量是向量 a 方向上的单位向量．2．向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律：设 λ，μ 为实数，则(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.特别提醒向量的数乘运算、加减运算类似于多项式的运算，运算过程类似于多项式的“合并同类项”．3．共线向量定理向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使 b＝λa.思考 4 共线向量定理中为何要限制 a≠0?提示：共线向量定理中，若不限制 a≠0，则当 a＝b＝0 时，λ 的值不唯一，定理不成立．并且当 b≠0，a＝0 时，λ 的值不存在．特别提醒(1)如果非零向量 a 与 b 不共线，且 λa＝μb，那么 λ＝μ＝0.(2)共线向量定理可以分为两个定理：判定定理：如果存在一个实数 λ 满足 b＝λa(λ∈R)，那么 a∥b.性质定理：如果 a∥b，a≠0，那么存在唯一一个实数 λ，使得 b＝λa.4．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有 λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
