2.2.1 平面向量基本定理课堂导学三点剖析 一、基底(1)基底的特征:① 两个向量,② 不共线.(2)就像平面上可选取不同的坐标系一样,同一平面可以有不同的基底.因此,要表示一个向量 时 基 底 不 唯 一 , 但 是 基 底 给 定 时 , 向 量 的 表 示 法 唯 一 , 即 若 a=λ1 e1+λ2 e2=λ1′e1+λ2′e2,则 λ1=λ1′且 λ2=λ2′.(3)由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1、e2的条件下进行分解.【例 1】 下面三种说法:① 一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底;② 一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③ 零向量不可作为基底中的向量,其中正确的说法是( )A.①② B.②③ C.①③ D.①②③解析：平面内向量的基底不唯一.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③ 正确.答案：B各个击破类题演练 1设点 O 是ABCD 两对角线交点,下列向量组:①与;②与;③与;④与.可作为该平面其他向量基底的是( )A.①② B.①③ C.①④ D.③④解析:①与不共线;②=-,∥,与共线;③与不共线;④=-,∥,与共线.由平面向量基底的概念知①③可构成平面内所有向量的基底.答案:B变式提升 1e1、e2是平面内的一组基底,则下面四组向量中,不能作为一组基底的是( )A.e1和 e1+ e2 B.e1-2e2和 e2-2e1C.e1-2e2和 4e2-2e1D.e1+e2和 e1-e2解析: 4e2-2e1=-2(e1-2e2),∴e1-2e2与 4e2-2e1共线,不能作为基底.∴选 C.答案:C 二、平面向量基本定理及其应用关于定理的说明:(1)e1、e2是同一平面内的两个不共线向量；(2)平面内的任一向量都可用 e1、e2线性表示，且这种表示是唯一的；(3)对于基底的选取不唯一，只要是同一平面内的不共线向量都可作为基底；(4)当平面内取定一组基底 a0、b0后，任一向量 m 都被 a0、b0唯一确定，其含义是存在唯一实 数 对 （ λ1,λ2), 使 m=λ1a0+λ2b0. 若 还 有 m=λ1′a0+λ2′b0. 则 必 有 λ1=λ1′ 且λ2=λ2′.【例 2】 用向量法证明三角形的三条中线交于一点.思路分析：解决本题有两个关键点:一是由题意证明三线交于一点,需先明确要用同一法;二是利用向量证明两点重合的方法是构造以同一点为起点,这两点为终点的两向量相等,从而得这两点重合.证明:设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、AC、AB 的中点,令=a,=b 为基底,则=a-b,...
