2.2.1 平面向量基本定理课堂探究探究一 基底的判断两个向量能否作为基底关键是判断这两个向量中是否有零向量或这两个向量是否共线．【例 1】 已知向量 e1，e2不共线，实数 x，y 满足(3x－4y)·e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则 x－y 的值等于( )A．3 B．－3 C．0 D．2解析：由得故 x－y＝3．答案：A名师点拨 若 a，b 不共线，λa＋μb＝0，则 λ＝μ＝0．【例 2】 已知 e1和 e2不共线，则下列各组向量可以作为基底的是________．(填序号)①a＝2e1，b＝－2e1；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2．解析：① a＝－b；② b＝－2a；③ a＝4b，所以①②③不能作基底．答案：④探究二 用基底表示向量用基底来表示向量主要有以下两种类型：(1)直接利用基底，结合向量的线性运算，灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解．(2)若直接利用基底表示比较困难，则利用“正难则反”的原则，采用方程思想求解．【例 3】 已知在△ABC 中，D 为 BC 的中点，E，F 为 BC 的三等分点，若＝a，＝b，用 a，b 表示，，．分析：把，，分别放在一个封闭三角形中，利用线性运算不断地向基底靠拢．解：由题意，得＝＋＝＋＝＋ (－)＝a＋ (b－a)＝a＋b，＝＋＝a＋ (b－a)＝a＋b，＝＋＝a＋ (b－a)＝a＋b．探究三 直线的向量参数方程式的应用直线的向量参数方程式＝(1－t)＋t (t 为实数)包含两层意思：(1)当点 P在直线 AB 上时满足该式；(2)反之，当点 P 满足该式时，点 P 一定在直线 AB 上．【例 4】 如图所示，在△ABC 中，＝，P 是 BN 上的一点，若＝m＋，则实数 m 的值为( )A． B． C． D．解析：因为＝，所以＝4．又＝m＋，所以＝m＋．因为 P，B，N 三点共线，所以由直线的向量参数方程式知 m＋＝1，所以 m＝．答案：C探究四 向量法证明几何问题选取合适的基底，将待证的向量用基底表示，可以证明线段平行等位置关系．【例 5】 如图所示，点 M 是 AB 边上的中点，E 是 CM 的中点，AE 的延长线交 BC 于点F，MH∥AF，且 MH 交 BC 于点 H．求证：＝＝．证明：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝＋＋＝－＋2＋2＝－a－b＋2a＋2b＝a＋b，＝＋＝＋＝－＋＋＝－b＋＋－＝－b＋a＋2－＝－b＋a＋2b－b＝a＋b．综上可得：＝＝．探究五 确定两直线交点的位置问题基底建模是向量法解决几何图形有关证明和求解的重要方法，关键在于选取的基底是否合适．【例...
