高中数学 第二章 空间向量与立体几何 3.3 空间向量运算的坐标表示学案 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学学案

3.3 空间向量运算的坐标表示学习目标 1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，并会判断两个向量是否共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.知识点一 空间向量的坐标运算思考 设 m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，那么 m＋n，m－n，λm，m·n 如何运算？梳理 空间向量 a，b，其坐标形式为 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量运算向量表示坐标表示加法a＋b减法a－b数乘λa数量积a·b知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则名称满足条件向量表示形式坐标表示形式a∥ba＝λb(λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)a⊥ba·b＝0模|a|＝________夹角cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉＝类型一 空间向量的坐标运算例 1 已知 a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则 b 等于( )A.(2，－4,2) B.(－2,4，－2)C.(－2,0，－2) D.(2,1，－3)反思与感悟 关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标.1跟踪训练 1 若向量 a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则 x＝________.类型二 空间向量平行、垂直的坐标表示例 2 已知空间三点 A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设 a＝AB，b＝AC.(1)若|c|＝3，c∥BC.求 c；(2)若 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k.引申探究若将本例(2)中改为“若 ka－b 与 ka＋2b 互相垂直”，求 k 的值. 反思与感悟 (1)平行与垂直的判断① 应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线.② 判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为 0.(2)平行与垂直的应用① 适当引入参数(比如向量 a，b 平行，可设 a＝λb)，建立关于参数的方程.② 选择坐标形式，以达到简化运算的目的.跟踪训练 2 在正方体 AC1中，已知 E、F、G、H 分别是 CC1、BC、CD 和 A1C1的中点.证明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；(2)A1G⊥平面 EFD.类型三 空间向量的夹角与长度的计算例 3 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G 分别是 DD1，BD，BB1的中点.(1)求证：EF⊥CF；(2)求EF与CG...