高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第2课时 等差数列前n项和的综合应用学案 新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学学案VIP专享

第 2 课时 等差数列前 n 项和的综合应用学习目标：1.掌握 an与 Sn的关系并会应用(难点).2.掌握等差数列前 n 项和的性质及应用(重点).3.会求等差数列前 n 项和的最值(重点).4.会用裂项相消法求和(易错点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．Sn与 an的关系an＝2．等差数列前 n 项和的性质(1)等差数列{an}中，其前 n 项和为 Sn，则{an}中连续的 n 项和构成的数列 Sn，S2n－ S n，S3n－S2n，S4n－ S 3n，…构成等差数列．(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b 为常数)．思考：如果{an}是等差数列，那么 a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？[提示] (a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)＝＝100d，类似可得(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12 ＋…＋a20)＝100d.∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列．3．等差数列前 n 项和 Sn的最值(1)若 a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或 0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．(2)若 a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或 0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．特别地，若 a1>0，d>0，则 S1 是{Sn}的最小值；若 a1<0，d<0，则 S1 是{Sn}的最大值．思考：我们已经知道当公差 d≠0 时，等差数列前 n 项和是关于 n 的二次函数 Sn＝n2＋n，类比二次函数的最值情况，等差数列的 Sn何时有最大值？何时有最小值？[提示] 由二次函数的性质可以得出：当 a1<0，d>0 时，Sn 先减后增，有最小值；当a1>0，d<0 时，Sn先增后减，有最大值；且 n 取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．[基础自测]1．思考辨析(1)若 Sn为等差数列{an}的前 n 项和，则数列也是等差数列．( )(2)若 a1>0，d<0，则等差数列中所有正项之和最大．( )(3)在等差数列中，Sn是其前 n 项和，则有 S2n－1＝(2n－1)an.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√2．在项数为 2n＋1 的等差数列中，所有奇数项的和为 165，所有偶数项的和为 150，则 n 等于( )A．9 B．10C．11 D．12B [ ＝，∴＝.∴n＝10.故选 B 项．]3．等差数列{an}中，S2＝4，S4＝9，则 S6＝________.15 [由 S2，S4－S2，S6－S4成等差数列得 2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)解得 S6＝15.]4．已知数列{an}的通项公式是 an＝2n－48，则 Sn取得最小值时，n 为________.【导学号：91432176】23 或 ...