高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标 2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算课堂导学案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学学案

2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算课堂导学三点剖析 一、向量 a=的坐标 如图,在直角坐标系内,我们分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底,任作一个向量 a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x、y,使得 a=xi+yj.我们把(x,y)叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a=(x,y).(*) 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,*式叫做向量的坐标表示.由相等 向 量 的 定 义 可 以 得 到 任 意 与 a 相 等 的 向 量 的 坐 标 也 为 (x,y). 特 别 地 ,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).【例 1】 在直角坐标系 xOy 中,向量 a、b、c 的方向和长度如图所示,分别求它们的坐标.思路分析：利用任意角的三角函数定义,若 a=(a1,a2),a 的方向相对于 x 轴正向的转角为θ,则有解:设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),则 a1=|a|cos45°=2×=,a2=|a|sin45°=2×=,b1=|b|cos120°=3×(-)=,b2=|b|sin120°=3×,c1=|c|cos(-30°)=4×,c2=|c|sin(-30°)=4×(-)=-2,因此 a=(,),b=(),c=(,-2).各个击破类题演练 1已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，||=，∠xOA=60°,求向量的坐标.思路分析:要求向量的坐标，就是要求在 x、y 轴上的坐标，为此可通过三角函数求解.解:设点 A 的坐标为（x,y),则 x=||·cos60°=×,y=||sin60°=×=6,即 A（，6）.∴=（，6）.变式提升 1如图,正方形 ABCD 中,P 是对角线 BD 上的一点,PECF 是矩形,用向量证明 PA=EF.思路分析:用向量的坐标法证明,只要写出 PA 与 EF 的坐标,利用两点间距离公式就可得证.问题的关键在于如何建立坐标系,考虑到四边形 ABCD,故可以 D 点为坐标原点,以 DC、AD 边所在直线分别为 x、y 轴,建立坐标系.证明:建立如图所示的坐标系,设正方形的边长为 a,||=λ(λ>0),则 A(0,a),P(λ,λ),E(a,λ),F(λ,0),∴=(λ,a-λ),=(λ-a,λ). ||2=λ2-aλ+a2,||2=λ2-aλ+a2,∴||2=||2,故 PA=EF. 二、向量的直角坐标运算(1)若 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a+b=(a1+b1,a2+b2),即两个向量的和的坐标,等于这两个向量相应坐标的和.(2)若 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a-b=(a1-b1,a2-b2),即两个向量的差的坐标,等于这两个向量相应坐标的差.(3)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.(4)若 a=(a1,a2),λ∈R,则 λa=(λa1,λa2),即向量数乘积的...