第二章 圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程[目标] 1.了解曲线与方程的概念，能够推断曲线与方程的对应关系.2.会判定一个点是否在已知曲线上．[重点] 由曲线方程讨论曲线的性质．[难点] 对曲线与方程关系的理解．知识点 曲线的方程和方程的曲线[填一填]在直角坐标系中，如果某曲线 C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下的关系：① 曲线上点的坐标都是这个方程的解；② 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．[答一答]1．曲线与方程的概念中关系①②分别从什么角度强调曲线与方程的概念？提示：“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上点的坐标没有不满足方程的，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外；“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏．2．“方程的曲线”与“曲线的方程”一样吗？提示：曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形．3．如果曲线 C 的方程是 f(x，y)＝0，那么点 P(x0，y0)在曲线 C 上的充要条件是什么？提示：若点 P 在曲线上，则 f(x0，y0)＝0；若 f(x0，y0)＝0，则点 P 在曲线 C 上．∴点P(x0，y0)在曲线 C 上的充要条件是 f(x0，y0)＝0.曲线与方程的“纯粹性”与“完备性”1．定义中的关系①说明曲线上任何点的坐标都满足方程，即曲线上所有的点都符合这个条件而无例外，这是轨迹的“纯粹性”．2．定义中的关系②说明符合条件的所有点都在曲线上而无遗漏，这是轨迹的“完备性”. 类型一 曲线与方程的概念【例 1】 判断下列命题的正误，并说明理由．(1)过点 A(2,0)且平行于 y 轴的直线 l 的方程为|x|＝2；(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 y＝x.【分析】 “曲线与方程”的关系需要满足以下两个条件：(1)曲线上的点的坐标都是方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．【解】 (1)不正确．过点 A(2,0)且平行于 y 轴的直线是在 y 轴右侧，距离 y 轴 2 个单位长，与 y 轴平行的一条直线．直线 l 上的点的坐标都是方程|x|＝2 的解，而以|x|＝2 的解为坐标的点不全在直线 l 上．(2)不正确．到两坐标轴距离相等的点的轨迹是第一、三象限的角平分线 (y＝x)和第二...
