2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算课堂探究探究一 向量的坐标表示求向量的坐标有三种方法：(1)正交分解；(2)将向量的起点平移到原点，向量的终点，即为向量的坐标；(3)利用转角求横、纵坐标．【例 1】 如图所示，分别用基底 i 与 j 表示向量 a，b，c，d，并求出它们的坐标．解：由题图可知，a＝＋＝2i＋3j，所以 a＝(2,3)．同理，b＝－2i＋3j＝(－2,3)；c＝－2i－3j＝(－2，－3)；d＝2i－3j＝(2，－3)．点评 在直角坐标系中求向量的坐标，一般运用“数”与“形”相结合的方法求解．【例 2】 在平面直角坐标系 xOy 中，a，b 如图所示，分别求它们的坐标．解：设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a1＝|a|cos 45°＝4×＝，a2＝|a|sin 45°＝4×＝．b 向量相对于 x 轴正方向的转角为 120°．所以 b1＝|b|cos 120°＝3×＝－，b2＝|b|sin 120°＝3×＝．所以 a＝(，)，b＝．评注 公式 a1＝|a|cos θ，a2＝|a|sin θ 中 θ 是指 a 的方向相对于 x 轴正方向的转角，此点不容忽视．探究二 向量的坐标运算向量用坐标表示后，向量的线性运算都可用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为熟知的数量运算．【例 3】 已知点 A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求点 C，D 和的坐标．解：设 C，D 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)，因为＝，＝－，所以(x1＋1，y1－2)＝×(3,6)，(－1－x2,2－y2)＝－×(－3，－6)，即(x1＋1，y1－2)＝(1,2)，(－1－x2,2－y2)＝(1,2)．所以和所以和所以 C，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．因此＝(－2，－4)．方法技巧 此类题要充分利用向量相等的条件建立方程或方程组求待定参数，求一个向量坐标需求出向量始点与终点坐标．探究三 向量坐标法的应用通过建立适当直角坐标系从而求出向量的坐标，这是解决向量或几何问题的一种常用的方法．【例 4】 已知 O 是△ABC 内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设＝a，＝b，＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用 a，b 表示 c．分析：由题中条件建立适当平面直角坐标系，由向量的模及向量与 x 轴正半轴夹角求向量坐标，再利用向量的坐标运算用 a，b 表示 c．解：如图所示，以 O 为原点，所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系．因为|a|=2，所以 a=(2,0)．设 b=，所以=|b|cos 150°...
