2.4.1 向量在几何中的应用课堂导学三点剖析 一、向量在平面几何中的应用 因为向量有两个特征——长度和方向.所以成为数学中一个典型的数与形的有机结合.如全等、相似、长度、夹角、平行、垂直等问题.在解决这些问题时可考虑应用向量的线性运算和数量积问题.通过对问题的深入分析，认识向量的工具性作用，培养创新精神和解决实际问题的能力.【例 1】 如下图，平行四边形 ABCD 中，点 M 是 AB 的中点，点 N 在 BD 上，且 BN=BD，求证：M、N、C 三点共线.思路分析：共线问题，一般情况下可化成向量共线，再利用向量共线的条件证明.证明：设=e1，=e2， =-=e2-e1，=，∴=e1.∴=+=e1+e2.又=，∴=（e2-e1）.∴=+=e1+（e2-e1）=e1+e2.∴=3.∴M、N、C 三点共线.各个击破类题演练 1如图，已知 G 为△ABC 的重心，P 为平面上任一点，求证：=（++）.证明：设三条中线分别为 AD、BE、CF.所以有=.由向量的中线公式有=（+），=（+），所以+=（+）.①同理，+=（+），②+=(+)，③①+②+③ 得 2（++）=(+++++)=0.所以++=0.所以 3=++=（+）+（+）+（+）=（++）+（++）=++.所以=（++PC）.变式提升 1如图，O 为△ABC 的外心，E 为三角形内一点，满足=++.求证：⊥.思路分析：要证⊥，即证·=0，选取基底{，}，将，表示出来即可.证明： =-，=-=（++）-=+，∴·=（-）·（+）=||2-||2. O 为外心，∴||=||，即·=0.∴⊥. 二、向量在解析几何中的应用 一般地，对于直线方程 Ax+By+C=0 而言，向量 a=（B，-A）为该直线的方向向量，向量 n=（A，B）与直线垂直，又称 n=（A，B）为直线的法向量，有了方向向量和法向量，我们就可以用向量来研究平面内两条直线的位置关系，即两直线平行、垂直、夹角等问题.【例 2】 求过点 A（-1，2）且平行于向量 a=（3，2）的直线方程.思路分析：利用向量法来解决几何问题时，要将线段看成向量并用端点坐标来表示.解法一：直线与 a=（3，2）平行，∴直线斜率 k=.∴直线方程为 y-2=(x+1),即 2x-3y+8=0.解法二：过点 A 且平行于向量的直线是唯一确定的，把这条直线记为 l，在 l 上任取一点P（x,y），则∥a. 如果点 P 不与点 A 重合，由向量平行，它们的坐标满足的条件,整理，得方程为 2x-3y+8=0.解法三：设 P(x,y)为所求直线上任意一点，由题意知∥a，而=（x+1,y-2）,a=(3,2),∴(x+1)·2-(y-2)·3=0,化简得 2x-3y+8=0，即为所求直线的方程.类题演练 2在△ABC 中，已知 A（-1，2...
