高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和（2）学案 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学学案VIP专享

2.3 等差数列的前 n 项和（2）学习目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式.2.会解等差数列前 n 项和的最值问题.3.理解 an与 Sn的关系，能根据 Sn求 an.知识点一 数列中 an与 Sn的关系思考 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2，怎样求 a1，an?答案 a1＝S1＝1；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又 n＝1 时也适合上式，所以 an＝2n－1，n∈N*.梳理 对任意数列{an}，Sn与 an的关系可以表示为an＝知识点二 等差数列前 n 项和的最值思考 我们已经知道当公差 d≠0 时，等差数列前 n 项和是关于 n 的二次函数 Sn＝n2＋(a1－)n，类比二次函数的最值情况，等差数列的 Sn何时有最大值？何时有最小值？答案 由二次函数的性质可以得出：当 a1＜0，d>0 时，Sn先减后增，有最小值；当 a1＞0，d<0 时，Sn先增后减，有最大值；且 n 取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．梳理 等差数列前 n 项和的最值与{Sn}的单调性有关．(1)若 a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或 0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．(2)若 a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或 0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．(3)若 a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若 a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值．类型一 已知数列{an}的前 n 项和 Sn求 an例 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解 根据 Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N*)，当 n>1 时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n－，①当 n＝1 时，a1＝S1＝12＋×1＝，也满足①式．∴数列{an}的通项公式为 an＝2n－.故数列{an}是以为首项，2 为公差的等差数列．引申探究例 1 中前 n 项和改为 Sn＝n2＋n＋1，求通项公式．解 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n＋1)－[(n－1)2＋(n－1)＋1]＝2n－.①1当 n＝1 时，a1＝S1＝12＋＋1＝不符合①式．∴an＝反思与感悟 已知前 n 项和 Sn求通项 an，先由 n＝1 时，a1＝S1求得 a1，再由 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1求得 an，最后验证 a1是否符合 an，若符合则统一用一个解析式表示．跟踪训练 1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n，求 an.解 当 n＝1 时，a1＝S1＝3；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1...