2.3 等差数列的前 n 项和（二）[学习目标] 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式；了解等差数列的一些性质.2.掌握等差数列前 n 项和的最值问题.3.理解 an与 Sn的关系，能根据 Sn求 an.知识点一 等差数列前 n 项和及其最值1．前 n 项和公式：Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n．2．等差数列前 n 项和的最值(1)在等差数列{an}中，当 a1＞0，d＜0 时，Sn有最大值，使 Sn取到最值的 n 可由不等式组确定；当 a1＜0，d＞0 时，Sn有最小值，使 Sn取到最值的 n 可由不等式组确定．(2)因为 Sn＝n2＋n，若 d≠0，则从二次函数的角度看：当 d>0 时，Sn有最小值；当 d＜0 时，Sn有最大值；且 n 取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．知识点二 数列中 an与 Sn的关系对任意数列{an}，Sn与 an的关系可以表示为an＝思考 若 Sn＝n2＋n，则 an＝________．答案 2n解析 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n，当 n＝1 时，a1＝S1＝12＋1＝2＝2×1，∴an＝2n.知识点三 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而实现求和．常见的拆项方法：(1)＝－，＝；＝；(2)＝－，＝(－)，＝(－)；(3)＝(－)．题型一 已知 Sn求 an例 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sn＝2n2＋3n，试判断数列{an}是不是等差数列．解 Sn＝2n2＋3n，∴当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－2(n－1)2－3(n－1)＝4n＋1.当 n＝1 时，a1＝S1＝5＝4×1＋1.∴n＝1 时，适合 an＝4n＋1.∴数列的通项公式是 an＝4n＋1.故数列{an}是等差数列．反思与感悟 (1)an与 Sn的关系：an＝当 n＝1 适合于 an时，则 a1可以统一到 an(n≥2，n∈N*)的形式中．若 n＝1 不适合 an，则通项公式应写成分段函数形式．(2)等差数列{an}中，若 d≠0，则 Sn可写成关于 n 的二次函数形式，反之，若 Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}一定是等差数列．跟踪训练 1 本例中，若 Sn＝2n2＋3n＋1，试判断该数列是不是等差数列．解 Sn＝2n2＋3n＋1.∴n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n＋1－2(n－1)2－3(n－1)－1＝4n＋1.当 n＝1 时，a1＝S1＝6≠4×1＋1.∴an＝故数列{an}不是等差数列．题型二 等差数列前 n 项和的最值问题例 2 在等差数列{an}中，若 a1＝25，且 S9＝S17，求 Sn的最大值．解 方法一 S9＝S17，a1＝25，∴9×25＋d＝17×25＋d，解得 d＝－2.∴Sn＝25n＋×(－...
