高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1.平面向量的数量积.(重点)2.平面向量的数量积的几何意义.(难点)3.向量的数量积与实数的乘法的区别.(易混点)[基础·初探]教材整理 1 向量数量积的定义及性质阅读教材 P103～P104“例 1”以上内容，完成下列问题.1.向量的数量积的定义已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ.规定零向量与任一向量的数量积为 0.2.向量的数量积的性质设 a 与 b 都是非零向量，θ 为 a 与 b 的夹角.(1)a⊥b⇔a·b＝0.(2)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|.(3)a·a＝|a|2或|a|＝＝.(4)cos θ＝.(5)|a·b|≤|a||b|.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同.( )(2)两个向量的数量积是向量.( )(3)设向量 a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ>0⇔a·b>0.( )【解析】 (1)×.因向量的夹角包括 180°，直线的倾斜角不包括 180°.(2)×.因两个向量的数量积没有方向，不是向量.(3)√.由数量积的定义可知.【答案】 (1)× (2)× (3)√教材整理 2 向量的数量积的几何意义及运算律阅读教材 P104例 1 以下至 P105例 2 以上内容，完成下列问题.1.向量的数量积的几何意义(1)投影的概念如图 241 所示：OA＝a，OB＝b，过 B 作 BB1垂直于直线 OA，垂足为 B1，则 OB1＝|b|cos θ.|b|cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影，|a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影.图 241(2)数量积的几何意义：a·b 的几何意义是数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积.2.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).已知|a|＝3，向量 a 与 b 的夹角为，则 a 在 b 方向上的投影为________.【解析】 向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ＝3×cos ＝.【答案】 [小组合作型]与向量数量积有关的概念 (1)以下四种说法中正确的是________.① 如果 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0；② 如果向量 a 与 b 满足 a·b<0，则 a 与 b 所成的角为钝角；③△ABC 中，如果AB·BC＝0，那么△ABC 为直角三角形；④ 如果向量 a 与 b 是两个单位向量，则 a2＝b2.(2)已知|a|＝3...