高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学案（含解析）新人教A版必修4-新人教A版高二必修4数学学案

2．4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义[目标] 1.知道平面向量数量积的物理意义，记住其含义． 2.会用向量数量积的公式解决相关问题． 3.记住数量积的几个重要性质．[重点] 数量积的含义及公式．[难点] 数量积的重要性质．知识点一 向量数量积的定义及几何意义 [填一填](1)已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cosθ 叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cosθ(θ 为 a，b 的夹角)．(2)|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影．(3)零向量与任一向量的数量积为 0.(4)a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的投影|b|cosθ 的乘积．[答一答]1．向量的数量积与数乘向量的区别是什么？提示：向量的数量积 a·b 是一个实数，数乘向量 λa 仍是一个向量．2．a 在 b 方向的投影和 b 在 a 方向的投影是否相同呢？提示：不一定．a 在 b 方向上的投影为|a|cosθ＝，b 在 a 方向上的投影为|b|cosθ＝.所以当|a|＝|b|时，上述两个投影相同；|a|≠|b|时，上述两个投影不同．3．两非零向量的数量积的正负由谁决定？有几种情况？提示：两非零向量的数量积的正负由两向量的夹角 θ 决定．当 θ 为锐角时，a·b>0，且 a·b≠|a||b|；当 θ 为钝角时，a·b<0 且 a·b≠－|a||b|；当 θ＝0°时，a·b＝|a||b|；当 θ＝180°时，a·b＝－|a||b|；当 θ＝90°时，a·b＝0.知识点二 向量数量积的运算律 [填一填]已知向量 a，b，c 和实数 λ，则：(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.[答一答]4．对于向量 a，b，c，等式(a·b)c＝(b·c)a 一定成立吗？提示：不一定成立． 若(a·b)c≠0，其方向与 c 相同或相反，而(b·c)a≠0 时，其方向与 a 相同或相反，而 a 与 c 的方向不一定相同，故该等式不一定成立．5．若 a·b＝a·c(a≠0)，则一定有 b＝c 吗？提示：不一定．可能有 a⊥(b－c)成立．知识点三 数量积的几个性质[填一填]设 a，b 为非零向量，则：(1)a⊥b⇔a·b＝0.(2)a，b 同向时，a·b＝|a||b|；a，b 反向时，a·b＝－|a||b|.(3)|a|＝＝＝.(4)|a·b|≤|a||b|.[答一答]6．a·b＝0 时，a＝0 或 b＝0 吗？提示：不一定，当 a⊥b 时，也有 a·b＝0.类型一 向量数量积的运算 [例 1] 已知|a|＝2，|b|＝3，当...