高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和学案（含解析）新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学学案VIP专享

2.3 等差数列的前 n 项和数列的前 n 项和[导入新知]数列的前 n 项和对于数列{an}，一般地，称 a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前 n 项和，用 Sn表示，即 Sn＝a1＋ a 2＋…＋ a n.[化解疑难]数列的前 n 项和就是指从数列的第 1 项 a1起，一直到第 n 项 an所有项的和.等差数列的前 n 项和[提出问题]如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有 4 根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有 9 根．问题 1：共有几层？图形的横截面是什么形状？提示：六层，等腰梯形．问题 2：假设在这堆钢管旁边再倒放上捆扎着的同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？提示：(4＋9)×6＝78.问题 3：原来有多少根钢管？提示：×78＝39.问题 4：能否利用前面问题推导等差数列前 n 项和公式 Sn＝a1＋a2＋…＋an?提示：能．Sn＝a1＋a2＋…＋an，Sn＝an＋an－1＋…＋a1，相加：2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)，∴Sn＝.问题 5：试用 a1，d，n 表示 Sn.提示： an＝a1＋(n－1)d，∴Sn＝＝na1＋d.[导入新知]等差数列的前 n 项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数选用公式Sn＝Sn＝ na 1＋ d [化解疑难]等差数列前 n 项和公式的特点(1)两个公式共涉及 a1，d，n，an及 Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、通项和前 n 项和．(2)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．等差数列前 n 项和的有关计算[例 1] (1)(北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前 n 项和，若 a1＝，S2＝a3，则 a2＝__________；Sn＝________.(2)在等差数列{an}中，已知 d＝2，an＝11，Sn＝35，求 a1和 n.[解] (1)设公差为 d，则由 S2＝a3得2a1＋d＝a1＋2d，所以 d＝a1＝，故 a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋d＝.(2)由得解方程组，得或[答案] (1)1 [类题通法]a1，d，n 称为等差数列的三个基本量，an和 Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前 n 项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前 n 项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．[活学活用]已知等差数列{an}．(1)a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求 n 和 d；(2)a1＝4，S8＝172，求 a8和 Sn.解：(1) ...