2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义考试标准课标要点学考要求高考要求平面向量数量积的概念及其物理意义bb平面向量投影的概念aa平面向量数量积的性质及运算律bb知识导图学法指导1.本节的重点是平面向量数量积的概念、向量的模及夹角的表示，难点是平面向量数量积运算律的理解及平面向量数量积的应用．2．向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系，学习时注意对比，明确数的乘法中成立的结论在向量的数量积中是否成立.向量的数量积定义已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos θ 叫作 a 与 b 的数量积，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角．零向量与任一向量的数量积为 0.几何意义|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影．a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积性质(1)a⊥b⇔a·b＝0；(2)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|；(3)a·a＝|a|2或|a|＝＝；(4)cos θ＝；(5)|a·b|≤|a||b|运算律交换律：a·b＝b·a结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律：(a＋b)·c ＝a·c＋b·c 关于向量数量积应注意的问题(1)若向量a与b的夹角为 θ，θ＝0 时，a与b同向；θ＝π 时，a与b反向；θ＝时，a⊥b.(2)求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，需平移．(3)向量的数量积结果是一个数量，符号由 cosθ 的符号所决定，而向量的加减法和实数与向量的积的结果仍是向量．(4)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同．( )(2)两个向量的数量积是向量．( )(3)设向量 a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ＞0⇔a·b＞0.( )答案：(1)× (2)× (3)√2．已知单位向量 a，b 的夹角为 60°，则 a·b＝( )A. B.C．1 D．－解析：由向量的数量积公式 a·b＝|a||b|cos θ＝1×1×＝.答案：A3．已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60°，那么|a＋3b|＝( )A. B.C. D．4解析：|a＋3b|2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×cos 60°＋9＝13，所以|a＋3b|＝.答案：C4．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝4，且 a·b＝2，则 a 与 b 的夹角为________．解析：设 a 与 b 的夹角为 θ，cos...
