2.3 等差数列的前 n 项和(第 1 课时)一、学习目标1.掌握等差数列前 n 项和的公式,并能运用公式解决简单的问题.2.了解等差数列前 n 项和的定义,了解倒序相加的原理,理解等差数列前 n 项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式;3.能用方程思想认识等差数列前 n 项和的公式,利用公式求 Sn,a1,d,n;等差数列通项公式与前 n 项和的公式共涉及五个量,已知其中三个量可求另两个量;会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究Sn的最值.二、设计问题,创设情境问题 1.一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放 100 支.这个 V 形架上共放着多少支铅笔?这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.这实际上是一个求等差数列前 100 项和的问题,高斯算法的高明之处在于他发现这 100 个数可以分为 50 组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于 101,50 个 101 就等于 5050.高斯算法将加法运算转化为乘法运算,迅速准确的得到了结果.我们要求一般的等差数列的前几项和,高斯算法对我们有何启发?三、信息交流,揭示规律1.公式推导设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,Sn=a1+a2+a3+…+an=?,由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.思路一:运用基本量思想,将各项用 a1和 d 表示,得Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+…+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d],有以下等式 a1+[a1+(n-1)d]=(a1+d)+[a1+(n-2)d]=(a1+2d)+[a1+(n-3)d]=…,问题是一共有多少个,似乎与 n 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了. 思路二:上面的等式其实就是 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…,为回避个数问题,做一个改写 Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1,两式左右分别相加,得 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1),2Sn=n(a1+an)于是有.这就是倒序相加法. 思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得 2Sn=n[a1+a1+(n-1)d],于是 Sn=na1+d.综合思路二和思路三得到了两个公式: 和 . 四、运用规律,解决问题1.求和:(1)101+100+99+98+97+…+64;(2)2+4+6+8+…+2n(结果用 n 表示).2.等差数列 2,4,6,…中前多少项的和是 9900?13.2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:...
