高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 向量在几何中的应用学案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学学案

2．4.1 向量在几何中的应用 [学习目标] 1.经历用向量方法解决某些简单的几何问题及其他一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.3.培养运算、分析和解决实际问题的能力．[知识链接]1．向量可以解决哪些常见的几何问题？答 (1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等几何问题．(2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题．2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？答 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．[预习导引]1．向量在平面几何中的应用(1)证明线段平行问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0 .(3)求夹角问题，常常利用向量的夹角公式cos θ＝＝.(4)求线段的长度或证明线段相等，可利用向量的线性运算、向量模的公式|a|＝.2．向量在解析几何中的应用设直线 l 的倾斜角为 α，斜率为 k，A(x1，y1)∈l，P(x，y)∈l，向量 a＝(a1，a2)平行于l，由直线斜率和正切函数的定义，可得k＝＝＝tan α.如果知道直线的斜率 k＝，则向量(a1，a2)一定与该直线平行．这时向量(a1，a2)称为这条直线的方向向量．如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直该直线．这个向量称为这条直线的法向量．即直线 y＝kx＋b 的方向向量为(1 ， k ) ，法向量为( k ，－ 1) ；直线 Ax＋By＋C＝0 的方向向量为( B ，－ A ) ，法向量为( A ， B ) ． 要点一 平面几何中的垂直问题例 1 如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：AF⊥DE.证明 方法一 设AD＝a，AB＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又DE＝DA＋AE＝－a＋，AF＝AB＋BF＝b＋，所以AF·DE＝·＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0.故AF⊥DE，即 AF⊥DE.方 法 二 如 图 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 设 正 方 形 的 边 长 为2 ， 则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，AF＝(2,1)，DE＝(1，－2)．因为AF·DE＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF⊥DE，即 AF⊥DE.规律方法 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为 0)，...