第 2 课时 椭圆的几何性质的应用学习目标 1.进一步巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．知识点一 点与椭圆的位置关系设 P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点 P 与椭圆的位置关系如下表所示：位置关系满足条件P 在椭圆外＋>1P 在椭圆上＋＝1P 在椭圆内＋<1知识点二 直线与椭圆的位置关系直线 y＝kx＋m 与椭圆＋＝1 的位置关系的判定联立消去 y 得关于 x 的一元二次方程.位置关系解的个数Δ 的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δ<0知识点三 直线与椭圆的相交弦弦长公式：1．|AB|＝＝|x1－x2|＝；2．|AB|＝|y1－y2|＝(直线与椭圆的交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，k 为直线的斜率)．其中，x1＋x2，x1x2或 y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去 y 或 x 后得到关于 x 或 y 的一元二次方程得到．1．若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．( √ )2．直线－y＝1 被椭圆＋y2＝1 截得的弦长为.( √ )3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)与点 P(b,0)，过点 P 可作出该椭圆的一条切线．( × )4．直线 y＝k(x－a)与椭圆＋＝1 的位置关系是相交．( √ )题型一 直线与椭圆的位置关系命题角度 1 直线与椭圆位置关系判断例 1 直线 y＝kx－k＋1 与椭圆＋＝1 的位置关系是( )A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定答案 A解析 直线 y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1 过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．反思感悟 直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程：(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点．(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点．(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．跟踪训练 1 在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0，)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆＋y2＝1 有两个不同的交点 P 和 Q.求 k 的取值范围．解 由已知条件知直线 l 的方程为 y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.整理得 x2＋2kx＋1＝0.直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得 k＜－或 k＞.即 k 的取值范围为∪.命题角度 2 距离的最值问题例 2 在椭圆＋＝1 上求一点 P，使它到直线 l：3x－2y－16＝0 的距离最短，并求出最短距离．解 设与椭圆相切并与 l 平行的直线方程为 y＝x＋m，代入＋＝1，并整理得 4x2＋3mx＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m2－7)＝0⇒...
