高中数学 第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.知识点一 平面向量数量积的坐标表示设 i，j 是两个互相垂直且分别与 x 轴、y 轴的正半轴同向的单位向量.思考 1 i·i，j·j，i·j 分别是多少？答案 i·i＝1×1×cos 0＝1，j·j＝1×1×cos 0＝1，i·j＝0.思考 2 取 i，j 为坐标平面内的一组基底，设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试将 a，b 用i，j 表示，并计算 a·b.答案 a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.思考 3 若 a⊥b，则 a，b 坐标间有何关系？答案 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.梳理 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.数量积a·b＝x1x2＋ y 1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0知识点二 平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式思考 1 若 a＝(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示.答案 a＝xi＋yj，x，y∈R，∴a2＝(xi＋yj)2＝(xi)2＋2xy i·j＋(yj)2＝x2i2＋2xy i·j＋y2j2.又 i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2，∴|a|＝.思考 2 若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量AB的模？答案 AB＝OB－OA＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，∴|AB|＝.梳理 向量模长a＝(x，y)|a|＝以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的向量AB|AB|＝知识点三 平面向量夹角的坐标表示思考 设 a，b 都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 是 a 与 b 的夹角，那么 cos θ如何用坐标表示？答案 cos θ＝＝.类型一 平面向量数量积的坐标表示例 1 已知 a 与 b 同向，b＝(1，2)，a·b＝10.(1)求 a 的坐标；(2)若 c＝(2，－1)，求 a(b·c)及(a·b)c.解 (1)设 a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，则有 a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2，4).(2) b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10).反思与感悟 此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况下(a·b)·c≠a·(b·c)，即向量运算结合律一般不成立.跟...