高中数学 第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案（含解析）新人教A版必修4-新人教A版高二必修4数学学案

2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角[目标] 1.会用坐标表示平面向量的数量积． 2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角． 3.能够利用坐标判断向量的垂直关系．[重点] 用坐标表示平面向量的数量积．[难点] 用坐标求向量的模及两向量的夹角．知识点一 平面向量数量积的坐标表示 [填一填]设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋ y 1y2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．[答一答]1．公式 a·b＝|a||b|cosa，b与 a·b＝x1x2＋y1y2有什么区别与联系？提示：两个公式都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式的差异 ，可以相互推导；若题目给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用 a·b＝|a||b|·cosa，b求解，若已知两向量的坐标，则可选用 a·b＝x1x2＋y1y2求解．知识点二 平面向量长度(模)的坐标表示 [填一填]1．平面向量长度(模)的坐标公式已知向量 a＝(x，y)，由于|a|＝，所以|a|＝.其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根．2．平面内两点间的距离公式已知原点 O(0,0)，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝OB－OA＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，于是|AB|＝.其含义是：向量AB的长度(模)等于 A，B 两点之间的距离．[答一答]2．对于任意的非零向量 a＝(x，y)，如何用坐标表示与向量 a 同向的单位向量？提示：记向量 a 的单位向量为 a0，则 a0＝，且|a|＝，所以 a0＝＝(x，y)＝(，)，此为与向量 a＝(x，y)同向的单位向量．知识点三 两向量垂直的坐标表示 [填一填]设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0 .[答一答]3．已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 与 a⊥b 的坐标表示有何区别？提示：若 a∥b⇔x1y2＝x2y1，即 x1y2－x2y1＝0.若 a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即 x1x2＋y1y2＝0.两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．知识点四 平面向量夹角的坐标表示 [填一填]已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其夹角为 θ，则 cosθ＝(0≤θ≤π)．[答一答]4．两向量 a 与 b 满足 a·b<0，a 与 b 的夹角一定是钝角吗？提示：不一定，a 与 b 夹角可能是 180°.类型一 平面向量数量积的坐标运算 [例 1] 已知向量 a＝(1,3)，b＝(2,5)，求 a·b，|3a－b|，(a＋b)·(2a－b)．[分析] 运用向量数量积坐标运算的法则及相关性质求解．[解] a·...