2.5.1 平面几何中的向量方法互动课堂疏导引导1.向量在平面几何中的应用 向量是数学中证明几何命题的有效工具之一.根据平面向量的基本定理,任一平面直线型图形中的线段都可以表示为某些向量的线性组合,这样在证明几何命题时,可先把已知和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算就很容易得出结论.一般地,利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度问题.利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题.图 2-5-1 例如求证平行四边形对角线互相平分,如图 2-5-1 所示,已知ABCD 的两条对角线相交于点 M,设=x,=y,则=x=x+x.=+=+y=+y(-)=(1-y)+y.于是我们得到关于基底{,}的的两个分解式.因为分解式是唯一的,所以 解得 x=,y=.故 M 是、的中点,即对角线、在交点处互相平分.通过上例可以看出用向量方法解决平面几何的步骤为:(1)建立平面几何与向量之间的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.(2)通过向量运算,解决几何元素之间的关系.(3)把运算结果翻译成几何关系.疑难疏引 (1)证明线段相等、平行,常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则,有时用到向量减法的定义.(2)证明线段平行、三角形相似,判断两直线是否平行,常运用向量共线的条件.(3)证明线段的垂直问题,常用向量垂直的条件 a⊥ba·b=0.(4)求与夹角相关的问题,常用向量的夹角公式 cosθ=.2.向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中,有序实数对(x,y)既可表示一个固定的点,又可以表示一个向量.使向量与解析几何有了密切的联系.特别是有关直线的平行、垂直问题,可以用向量方法解决.例如:求通过点 A(-1,2),且平行于向量 a=(3,2)的直线方程.解:过点 A 且平行于向量 a 的直线是唯一确定的,把这条直线记为 l,在 l 上任取一点P(x,y),则∥a.如果 P 不与 A 重合,由向量平行,它们的坐标满足条件,整理得方程 2x-3y+8=0.反过来,所有以此方程的解(x,y)为坐标的点也一定在直线 l 上.所以这个方程就是所求的直线方程.活学巧用1.如图 2-5-2,若 D 是△ABC 内一点,且有 AB2-AC2=DB2-DC2.求证: AD⊥BC.证明：欲证 AD⊥BC,只需证明⊥即可.图 2-5-2设=a,=b,=e,=c,=d,则 a=e+c,b=e+d.∴a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.由已知 a2-b2=c2-d2,∴c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2.故有 e·(d-c)=0.∴⊥,即⊥.2.平面内三点 A、B、C 在一条直线上,=(-2,m) =(n,1),=(5,-1),且⊥,求实数 m、n 的值.解析：因为 A、B、C 三点共线,所以=λ.因为=-=(7,...
